Bestimmt von Extrempunkten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Fr 12.02.2016 | | Autor: | Canibus |
| Aufgabe | Stationäre Punkte
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen im Inneren ihres natürlichen Definitionsbereiches auf Extremwerte und Sattelpunkte:
d) z = [mm] 3x^{2}y [/mm] + [mm] 4y^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] - [mm] 12y^{2} [/mm] + 1 |
[mm] z_{x} [/mm] = 6xy - 6x
[mm] z_{y} [/mm] = [mm] 3x^{2} [/mm] + [mm] 12y^{2} [/mm] - 24y
[mm] z_{xx} [/mm] = 6y-6
[mm] z_{xy} [/mm] = 6y
[mm] z_{yx} [/mm] = 6x
[mm] z_{yy} [/mm] = 24y - 24
z'' = [mm] \pmat{ 6y-6 & 6y \\ 6x & 24y-24 }
[/mm]
Notw. Bedingung:
[mm] z_{x} [/mm] = 0
6xy - 6x = 0
x(6y-6) = 0
x = 0 v 6y-6 = 0
x = 0 v y = 1
Für x = 0:
[mm] z_{y} [/mm] = 0
[mm] 12y^{2} [/mm] - 24y = 0
y(12y-24) = 0
y = 0 v 12y - 24 = 0
y = 0 v y = 2
Für y = 1
[mm] z_{y} [/mm] = 0
[mm] 3x^{2} [/mm] - 12 = 0
[mm] x^{2} [/mm] - 4 = 0
[mm] x^{2} [/mm] = 4
x = 2 v x = -2
f''(0,0) = [mm] \pmat{ -6 & 0 \\ 0 & -24 }
[/mm]
f''(0,2) = [mm] \pmat{ 6 & 12 \\ 0 & 24 }
[/mm]
f''(2,1) = [mm] \pmat{ 0 & 6 \\ 12 & 0 }
[/mm]
f''(-2,1) = [mm] \pmat{ 0 & 6 \\ -12 & 0 }
[/mm]
Ich stehe jetzt gerade vor dem Problem, die Definitheit der Matrizen zu bestimmten.
Die letzten drei Matrizen sind nicht symmetrisch. Wie bestimme ich hier die Definitheit, um daraus Schlussfolgerungen auf die Art des stationären Punktes schließen zu können?
Ich danke euch im Voraus schon einmal für eure Hilfe!
Mit freundlichen Grüßen,
Canibus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Fr 12.02.2016 | | Autor: | Canibus |
Eine Matrix ist A ist genau dann positiv definit, wenn die symmetrische Matrix A + [mm] A^{T} [/mm] positiv definit ist.
Damit lässt sich das Problem der Definitheit unsymmetrischer Matrizen lösen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Fr 12.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Über die Eigenwerte gehts auch!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Fr 12.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Stationäre Punkte
>
> Untersuchen Sie die folgenden Funktionen im Inneren ihres
> natürlichen Definitionsbereiches auf Extremwerte und
> Sattelpunkte:
>
> d) z = [mm]3x^{2}y[/mm] + [mm]4y^{3}[/mm] - [mm]3x^{2}[/mm] - [mm]12y^{2}[/mm] + 1
> [mm]z_{x}[/mm] = 6xy - 6x
> [mm]z_{y}[/mm] = [mm]3x^{2}[/mm] + [mm]12y^{2}[/mm] - 24y
> [mm]z_{xx}[/mm] = 6y-6
> [mm]z_{xy}[/mm] = 6y
> [mm]z_{yx}[/mm] = 6x
> [mm]z_{yy}[/mm] = 24y - 24
>
> z'' = [mm]\pmat{ 6y-6 & 6y \\ 6x & 24y-24 }[/mm]
>
> Notw. Bedingung:
>
> [mm]z_{x}[/mm] = 0
> 6xy - 6x = 0
> x(6y-6) = 0
> x = 0 v 6y-6 = 0
> x = 0 v y = 1
>
> Für x = 0:
>
> [mm]z_{y}[/mm] = 0
> [mm]12y^{2}[/mm] - 24y = 0
> y(12y-24) = 0
> y = 0 v 12y - 24 = 0
> y = 0 v y = 2
>
> Für y = 1
>
> [mm]z_{y}[/mm] = 0
> [mm]3x^{2}[/mm] - 12 = 0
> [mm]x^{2}[/mm] - 4 = 0
> [mm]x^{2}[/mm] = 4
> x = 2 v x = -2
>
> f''(0,0) = [mm]\pmat{ -6 & 0 \\ 0 & -24 }[/mm]
> f''(0,2) = [mm]\pmat{ 6 & 12 \\ 0 & 24 }[/mm]
>
> f''(2,1) = [mm]\pmat{ 0 & 6 \\ 12 & 0 }[/mm]
> f''(-2,1) = [mm]\pmat{ 0 & 6 \\ -12 & 0 }[/mm]
>
> Ich stehe jetzt gerade vor dem Problem, die Definitheit der
> Matrizen zu bestimmten.
> Die letzten drei Matrizen sind nicht symmetrisch.
Dann hast Du Dich irgendwo verrechnet. Die Funktion z ist 2 mal stetig differenzierbar, somit ist die Hessematrix in jedem Punkt symmetrisch
Fred
Wie
> bestimme ich hier die Definitheit, um daraus
> Schlussfolgerungen auf die Art des stationären Punktes
> schließen zu können?
>
> Ich danke euch im Voraus schon einmal für eure Hilfe!
>
> Mit freundlichen Grüßen,
> Canibus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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