Bestimmung bestimmter Basen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Di 05.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{4} \to \IR^{4} [/mm] definiert durch
[mm] f\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 0\\ 8 & -4 & -6 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & -1 }*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}
[/mm]
Berechnen Sie Basen [mm] B_{1}, B_{2} [/mm] von [mm] \IR^{4}, [/mm] so dass
[mm] B_{1}fB_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ d_{1} & 0 & 0 & 0\\ 0 & d_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & d_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d_{4} } [/mm] ist mit [mm] d_{i} \in \{0,1 \} [/mm] für i [mm] \in \{1,2,3,4 \}. [/mm] |
Guten Morgen,
bei dieser Aufgabe habe ich wirklich Schwierigkeiten. Wenn würde ich jetzt erst mal versuchen das ganze mit der Standardbasis zu probieren. Aber dann fehlt nachwievor eine zweite Basis und ich weiß auch gar nicht ob die Standardbasis dafür geeignet ist. Wie geht man diese Aufgabe denn überhaupt ran? Würde mich freuen wenn mir jemand Tipp für den Anfang geben würde.
LG Loriot95
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> Sei f: [mm]\IR^{4} \to \IR^{4}[/mm] definiert durch
>
> [mm]f\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 0\\
8 & -4 & -6 & -3 \\
1 & -2 & 0 & 0 \\
2 & 0 & -2 & -1 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}}[/mm]
>
> Berechnen Sie Basen [mm]B_{1}, B_{2}[/mm] von [mm]\IR^{4},[/mm] so dass
>
> [mm]B_{1}fB_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ d_{1} & 0 & 0 & 0\\
0 & d_{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & d_{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & d_{4} }[/mm]
> ist mit [mm]d_{i} \in \{0,1 \}[/mm] für i [mm]\in \{1,2,3,4 \}.[/mm]
Hallo,
berechne erstmal den Rang der Matrix. Damit kennst Du die Dimension des Bildes und Du weißt, wieviele der [mm] d_i [/mm] von 0 verschieden sind.
Als kleine Tips: denk über eine Basis des Kerns nach und eine Basis des Bildes.
Wenn Du einigermaßen weißt, was es mit den Darstellungsmatrizen auf sich hat, solltest Du hiermit schon ein Stückchen weiterkommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Di 05.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
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> > Sei f: [mm]\IR^{4} \to \IR^{4}[/mm] definiert durch
> >
> > [mm]f\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 0\\
8 & -4 & -6 & -3 \\
1 & -2 & 0 & 0 \\
2 & 0 & -2 & -1 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}}[/mm]
>
> >
> > Berechnen Sie Basen [mm]B_{1}, B_{2}[/mm] von [mm]\IR^{4},[/mm] so dass
> >
> > [mm]B_{1}fB_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ d_{1} & 0 & 0 & 0\\
0 & d_{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & d_{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & d_{4} }[/mm]
> > ist mit [mm]d_{i} \in \{0,1 \}[/mm] für i [mm]\in \{1,2,3,4 \}.[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> berechne erstmal den Rang der Matrix. Damit kennst Du die
> Dimension des Bildes und Du weißt, wieviele der [mm]d_i[/mm] von 0
> verschieden sind.
>
> Als kleine Tips: denk über eine Basis des Kerns nach und
> eine Basis des Bildes.
> Wenn Du einigermaßen weißt, was es mit den
> Darstellungsmatrizen auf sich hat, solltest Du hiermit
> schon ein Stückchen weiterkommen.
>
> Gruß v. Angela
>
Von welcher Matrix soll ich den Rang bestimmen? [mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 0\\
8 & -4 & -6 & -3 \\
1 & -2 & 0 & 0 \\
2 & 0 & -2 & -1 } [/mm] oder [mm] \pmat{ d_{1} & 0 & 0 & 0\\
0 & d_{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & d_{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & d_{4} } [/mm] ? (Wir hatten das mit dem Rang noch nicht vll. frage ich deshalb so blöd...). Der Rang der ersten Matrix müsste 2 sein, wenn ich das richtig verstanden habe. Der Rang der zweiten kann man doch gar nicht sagen, oder? Denn ich weiß ja gar nicht welche [mm] d_{i} [/mm] 0 sind und welche 1.
LG Loriot95
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Moin Loriot,
> >
> > > Sei f: [mm]\IR^{4} \to \IR^{4}[/mm] definiert durch
> > >
> > > [mm]f\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 0\\
8 & -4 & -6 & -3 \\
1 & -2 & 0 & 0 \\
2 & 0 & -2 & -1 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Berechnen Sie Basen [mm]B_{1}, B_{2}[/mm] von [mm]\IR^{4},[/mm] so dass
> > >
> > > [mm]B_{1}fB_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ d_{1} & 0 & 0 & 0\\
0 & d_{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & d_{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & d_{4} }[/mm]
> > > ist mit [mm]d_{i} \in \{0,1 \}[/mm] für i [mm]\in \{1,2,3,4 \}.[/mm]
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > berechne erstmal den Rang der Matrix. Damit kennst Du die
> > Dimension des Bildes und Du weißt, wieviele der [mm]d_i[/mm] von 0
> > verschieden sind.
> >
> > Als kleine Tips: denk über eine Basis des Kerns nach und
> > eine Basis des Bildes.
> > Wenn Du einigermaßen weißt, was es mit den
> > Darstellungsmatrizen auf sich hat, solltest Du hiermit
> > schon ein Stückchen weiterkommen.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> Von welcher Matrix soll ich den Rang bestimmen? [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 0\\
8 & -4 & -6 & -3 \\
1 & -2 & 0 & 0 \\
2 & 0 & -2 & -1 }[/mm]
> oder [mm]\pmat{ d_{1} & 0 & 0 & 0\\
0 & d_{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & d_{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & d_{4} }[/mm]
> ? (Wir hatten das mit dem Rang noch nicht vll. frage ich
> deshalb so blöd...). Der Rang der ersten Matrix müsste 2
> sein, wenn ich das richtig verstanden habe. Der Rang der
> zweiten kann man doch gar nicht sagen, oder?![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Denn ich weiß
> ja gar nicht welche [mm]d_{i}[/mm] 0 sind und welche 1.
Genau, deswegen macht es auch nur Sinn den Rang der ersten zu berechnen. Der Rang einer Matrix ist die Dimension von Spalten- bzw. Zeilenraum (die übereinstimmt).
Nun berechne einmal eine Basis des Kerns. Diese Vektoren werden auf Null abgebildet, damit sind entsprechende [mm] d_i=0. [/mm] Ergänze dann geschickt zu einer Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
>
> LG Loriot95
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Di 05.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm und wie bestimme ich eine Basis vom Kern(f)?
LG Loriot95
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Di 05.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hm und wie bestimme ich eine Basis vom Kern(f)?
Bestimme den Lösungsraum des LGS
$ [mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 0\\ 8 & -4 & -6 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & -1 }\cdot{}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=0 [/mm] $
Und dann eine Basis dieses Raumes.
Sowas hatten wir gestern schon, erinnerst Du Dich ?
FRED
>
> LG Loriot95
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Di 05.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Hm und wie bestimme ich eine Basis vom Kern(f)?
>
> Bestimme den Lösungsraum des LGS
>
>
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 0\\ 8 & -4 & -6 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & -1 }\cdot{}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=0[/mm]
>
> Und dann eine Basis dieses Raumes.
>
> Sowas hatten wir gestern schon, erinnerst Du Dich ?
Ja.
Habe nun folgendes raus: U = [mm] \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})| x_{2} = \bruch{1}{2}*x_{1} \wedge 2x_{1}-2x_{3}-x_{4} = 0 \} [/mm]
Dann wäre doch B= [mm] \{ (2, \bruch{1}{2}, 0,0), (0,0,-2,0), (0,0,0,-1) \} [/mm] eine Basis von U oder?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Di 05.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Hm und wie bestimme ich eine Basis vom Kern(f)?
> >
> > Bestimme den Lösungsraum des LGS
> >
> >
> >
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 0\\ 8 & -4 & -6 & -3 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & -1 }\cdot{}\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=0[/mm]
>
> >
> > Und dann eine Basis dieses Raumes.
> >
> > Sowas hatten wir gestern schon, erinnerst Du Dich ?
> Ja.
>
> Habe nun folgendes raus: U = [mm]\{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})| x_{2} = \bruch{1}{2}*x_{1} \wedge 2x_{1}-2x_{3}-x_{4} = 0 \}[/mm]
> Dann wäre doch B= [mm]\{ (2, \bruch{1}{2}, 0,0), (0,0,-2,0), (0,0,0,-1) \}[/mm]
> eine Basis von U oder?
Das stimmt hinten und vorne nicht ! Man sieht doch z.B. sofort, dass (0,0,0,-1) nicht im kern von f liegt
FRED
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Di 05.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Komisch. Mein Gleichungssytem sieht wie folgt aus:
(1) [mm] x_{1}-2x_{2} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*x_{1}
[/mm]
(2) [mm] 8x_{1}-4x_{2}-6x_{3}-3x_{4} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow 8x_{1}-2x_{1}-6x_{3}-3x_{4} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow 6x_{1}-6x_{3}-3x_{4} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow 2x_{1}-2x_{3}-x_{4} [/mm] = 0.
(3) wie (1)
(4) wie (2)
Wo ist mein Fehler?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Di 05.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Komisch. Mein Gleichungssytem sieht wie folgt aus:
>
> (1) [mm]x_{1}-2x_{2}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*x_{1}[/mm]
> (2) [mm]8x_{1}-4x_{2}-6x_{3}-3x_{4}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow 8x_{1}-2x_{1}-6x_{3}-3x_{4}[/mm]
> = 0 [mm]\Rightarrow 6x_{1}-6x_{3}-3x_{4}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow 2x_{1}-2x_{3}-x_{4}[/mm]
> = 0.
> (3) wie (1)
> (4) wie (2)
>
> Wo ist mein Fehler?
Wieso "(4) wie (2) " ?
FRED
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 05.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Komisch. Mein Gleichungssytem sieht wie folgt aus:
> >
> > (1) [mm]x_{1}-2x_{2}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_{2}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{2}*x_{1}[/mm]
> > (2) [mm]8x_{1}-4x_{2}-6x_{3}-3x_{4}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow 8x_{1}-2x_{1}-6x_{3}-3x_{4}[/mm]
> > = 0 [mm]\Rightarrow 6x_{1}-6x_{3}-3x_{4}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow 2x_{1}-2x_{3}-x_{4}[/mm]
> > = 0.
> > (3) wie (1)
> > (4) wie (2)
> >
> > Wo ist mein Fehler?
>
> Wieso "(4) wie (2) " ?
>
Na weil [mm] 2x_{1}-2x_{3}-x_{4} [/mm] = 0 raus kommt. Das habe ich bei (2) doch aus (1) gefolgert.
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> > > Komisch. Mein Gleichungssytem sieht wie folgt aus:
> > >
> > > (1) [mm]x_{1}-2x_{2}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow x_{2}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{1}{2}*x_{1}[/mm]
> > > (2) [mm]8x_{1}-4x_{2}-6x_{3}-3x_{4}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow 8x_{1}-2x_{1}-6x_{3}-3x_{4}[/mm]
> > > = 0 [mm]\Rightarrow 6x_{1}-6x_{3}-3x_{4}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow 2x_{1}-2x_{3}-x_{4}[/mm]
> > > = 0.
> > > (3) wie (1)
> > > (4) wie (2)
> > >
> > > Wo ist mein Fehler?
Hallo,
ein Fehler ist auf jeden Fall, daß Du so postest, daß man nicht auf einen Blick die Matrix und Deine Rechnungen sehen kann.
Normalerweise bestimmt man ja eine Basis des Kerns, indem man erstmal die Matrix auf (reduzierte) Zeilenstufenform bringt.
Wenn ich das tue, bekomme ich
[mm]\pmat{1 &-2&0&0\\
0&-4&2&1\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0}[/mm] [mm] \qquad [/mm] (eine ZSF)
bzw.
[mm]\pmat{1 &0&-1&-0.5\\
0&1&-0.5&-0.25\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0}[/mm].
Ich mache hier jetzt nicht weiter, wenn Du wirklich Mathematik studierst, solltest Du aber daran arbeiten, hier schnell Bild und Kern ablesen zu können.
Mit dem von Dir eingeschlagenen Weg kommst Du auch zum Kern der Matrix/Abbildung:
Du hast übrigbehalten die Gleichungen
[mm] x_2 =\bruch{1}{2}x_1
[/mm]
0 [mm] =2x_{1}-2x_{3}-x_{4} \quad \gdw\quad x_4=2x_{1}-2x_{3},
[/mm]
dh. die Vektoren [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}, [/mm] welche Dein GS lösen, haben die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{x_1\\\bruch{1}{2}x_1\\x_3\\2x_{1}-2x_{3}}=x_1*\vektor{1\\\bruch{1}{2}\\0\\2}+x_3*\vektor{0\\0\\1\\-2},
[/mm]
womit Dir eine Basis des Kerns in die Arme hüpft.
Gruß v. Angela
> >
> > Wieso "(4) wie (2) " ?
> >
> Na weil [mm]2x_{1}-2x_{3}-x_{4}[/mm] = 0 raus kommt. Das habe ich
> bei (2) doch aus (1) gefolgert.
>
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