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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Fr 18.04.2008 | | Autor: | miamias |
| Aufgabe | Es sei I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall, [mm] t_0 \in [/mm] I, [mm] x_0\in \IC [/mm] und a: I [mm] \to \IC [/mm] stetig.
a) Bestimme die eindeutige Lösung [mm] \lambda [/mm] : I [mm] \to \IC [/mm] des Anfangwertproblems x'(t) = a(t)x(t), [mm] x(t_0) [/mm] = [mm] x_0.
[/mm]
b)Es sei zusätzlich b: [mm] \to \IC [/mm] stetig. Welche Lösung von x'(t) = a(t)x(t)+b(t) erhält man durch den Ansatz [mm] \mu(t) [/mm] = [mm] c(t)\lambda(t) [/mm] |
Hallo,
also bei der a) habe ich folgendes Ergebnis: [mm] \lambda(t) [/mm] = [mm] e^{A(t)-A(t_0)}+x_0, [/mm] wobei [mm] A=\integral{a}
[/mm]
aber bei der b) hab ich schon mehrere Versuche gestartet die aber immer zu einem aussichtslosen Punkt führten. Folgende Versuche habe ich schon gestartet: [mm] \mu' [/mm] berechnen und dann nach [mm] \lambda [/mm] bzw. [mm] \lambda' [/mm] auflösen. dann das in die DGL eingesetzt usw. hat mich aber nicht zu einem vernüftigen Ergebnis gebracht.
Dann hab ich schon den gegebenen Ansatz nach [mm] \lambda [/mm] aufgelöst und dann direkt in die DGL eingesetzt, oder dann auch abgeleitet in die DGL eingestzt,bringt aber anscheinend auch nichts vernüftiges.
Daher wäre es klasse wenn mir da jemand helfen könnte.
mfg
miamias
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Edit:
Bei a) muss es heißen:
[mm] \lambda(t) [/mm] = [mm] e^{A(t)-A(t_0)} [/mm] * [mm] x_0
[/mm]
Also... so wie ich das verstanden habe, kommst du zur Lösung, indem du Variation der Konstanten durchführst:
[mm] \mu(t) [/mm] = [mm] c(t)\lambda(t)
[/mm]
[mm] \mu'(t) [/mm] = [mm] c'(t)\lambda(t)+c(t)*\lambda'(t) [/mm] setzt, diese dann in die Ausgangsgleichung einsetzt:
[mm] c'(t)\lambda(t)+c(t)*\lambda'(t)=a(t)*c(t)\lambda(t)+b(t)
[/mm]
Da [mm] \lambda(t)=e^{A(t)} [/mm] ist [mm] \lambda'(t)=a(t)*\lambda(t) [/mm] und oben eingesetzt:
[mm] c'(t)\lambda(t)+c(t)*a(t)*\lambda(t)=a(t)*c(t)\lambda(t)+b(t)
[/mm]
[mm] c'(t)\lambda(t)=b(t)
[/mm]
[mm] c(t)=\integral{\frac{b(t)}{\lambda(t)}dt}+Konstante
[/mm]
[mm] c(t)=\integral{b(t)*e^{-A(t)}dt}+Konstante
[/mm]
Damit [mm] \mu(t)=[\integral{b(t)*e^{-A(t)}dt}+Konstante]*e^{A(t)}
[/mm]
Und das ist jedenfalls das, was mir auch mein CAS ausgibt...
Wenn du dann noch die Konstante durch Einsetzen ermittelst, müsste rauskommen:
[mm] Konstante=(x_0-b(t_0)*t_0)*e^{-A(t_0)}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Fr 18.04.2008 | | Autor: | miamias |
Erstmal danke für die rasche Antwort.
Also bei a) war nur ein Schreibfehler meinerseits, aber danke fürs nachrechnen.
Bei b) versteh ich nur einen kleinen Schritt nicht und zwar wie man darauf kommt, dass [mm] \lambda(t)=e^{A(t)} [/mm] , wenn in a) doch [mm] \lambda(t)=e^{A(t)-A(t_0)}*x_0?
[/mm]
mfG
miamias
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Ich habe einfach das allgemeine Integral verwendet und danach wieder die Grenzen ausgewertet, da das etwas weniger Schreibarbeit ist, also
[mm] \lambda(t)=e^{A(t)}
[/mm]
(Genau genommen muss das C als Konstante da mit rein, wenn wir das unbestimmte Integral nehmen, kürzt sich aber am Ende raus:
[mm] \lambda(t)=C*e^{A(t)}
[/mm]
[mm] \mu(t) [/mm] $ = $ [mm] c(t)\lambda(t) [/mm] = [mm] c(t)*C*e^{A(t)}
[/mm]
$ [mm] \mu'(t) [/mm] $ = $ [mm] c'(t)\lambda(t)+c(t)\cdot{}\lambda'(t) [/mm] $ setzt, diese dann in die Ausgangsgleichung einsetzt:
$ [mm] c'(t)\lambda(t)+c(t)\cdot{}\lambda'(t)=a(t)\cdot{}c(t)\lambda(t)+b(t) [/mm] $
Da $ [mm] \lambda(t)=C*e^{A(t)} [/mm] $ ist $ [mm] \lambda'(t)=C*a(t)\cdot{}\lambda(t) [/mm] $ und oben eingesetzt:
$ [mm] c'(t)*\lambda(t)+c(t)\cdot{}a(t)\cdot{}C*e^{A(t)}=a(t)\cdot{}c(t)*C*e^{A(t)}+b(t) [/mm] $
$ [mm] c'(t)\lambda(t)=b(t) [/mm] $
$ [mm] c(t)=\integral{}^{}{\frac{b(t)}{\lambda(t)}dt}+Konstante [/mm] $
$ [mm] c(t)=\bruch{1}{C}\integral{b(t)\cdot{}e^{-A(t)}dt}+Konstante [/mm] $
Damit [mm] \mu(t)=C*[\bruch{1}{C}\integral{b(t)\cdot{}e^{-A(t)}dt}+Konstante]\cdot{}e^{A(t)}
[/mm]
[mm] \mu(t)=[\integral{}^{}b(t)\cdot{}e^{-A(t)}+Konstante]\cdot{}e^{A(t)}
[/mm]
)
Könntest aber genauso mit dem partikulären arbeiten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:50 Sa 19.04.2008 | | Autor: | miamias |
Ich denke dassich das jetzt verstanden hab. Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Blutorange |
Wie mir noch auffällt, hast du bei dem partikulären Integral ja der Konstante schon einen Wert zugewiesen. Dann kann man sie nicht mehr variieren, also müsstest du mit der allgemeinen Lösung arbeiten.
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