Bewei: exp(x) = e^x < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 So 07.05.2006 | | Autor: | Dally |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe der Funktionalgleichung für die e-Funktion:
Für beliebiges x = [mm] \bruch{m}{n} \in \IQ [/mm] mit m,n [mm] \in \IZ, [/mm] n > 0, gilt
exp(x) = [mm] \wurzel[n]{e^{m}} [/mm] = [mm] e^{m} [/mm] = [mm] e^{x}. [/mm] |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
Funktionalgleichung für e: exp(a + b) = exp(a)*exp(b)
exp(x) = [mm] exp\left(\bruch{m}{n}\right) [/mm] mit x = [mm] \bruch{m}{n}
[/mm]
[mm] exp\left(\bruch{m}{n}\right) [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\left(exp\left(\bruch{m}{n}\right)\right)^n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\left(exp\left(\bruch{m}{n}\right)\right)*\left(exp\left(\bruch{m}{n}\right)\right)*\left(exp\left(\bruch{m}{n}\right)\right)*...*\left(exp\left(\bruch{m}{n}\right)\right)} [/mm] (n-mal)
= [mm] \wurzel[n]{exp\left(\bruch{m}{n} + \bruch{m}{n} + \bruch{m}{n} + ... + \bruch{m}{n} \right)} [/mm] (n-mal mit exp(a + b) = exp(a)*exp(b))
= [mm] \wurzel[n]{exp\left(n*\bruch{m}{n}\right)} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{exp\left(m\right)}
[/mm]
= [mm] \wurzel[n]{exp\left(\bruch{m}{m}*m\right)} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{exp\left(\bruch{m}{m}+\bruch{m}{m}+\bruch{m}{m}+ ... + \bruch{m}{m}\right)} [/mm] (m-mal)
= [mm] \wurzel[n]{exp\left(\bruch{m}{m}\right)*exp\left(\bruch{m}{m}\right)*exp\left(\bruch{m}{m}\right)* ... *exp\left(\bruch{m}{m}\right)} [/mm] (mit exp(a + b) = exp(a)*exp(b))
= [mm] \wurzel[n]{\left(exp\left(\bruch{m}{m}\right)\right)^m}
[/mm]
= [mm] \wurzel[n]{\left(exp(1)\right)^m} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\left(e\right)^m} [/mm] (mit exp(1) = e)
= [mm] e^\left(\bruch{m}{n}\right)
[/mm]
Ist das zumindest vom Grudgedanken her korrekt oder packe ich das wieder mal völlig falsch an?
Danke schonmal im Vorraus.
Mfg
Dally
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daily!
> Beweisen Sie mit Hilfe der Funktionalgleichung für die
> e-Funktion:
> Für beliebiges x = [mm]\bruch{m}{n} \in \IQ[/mm] mit m,n [mm]\in \IZ,[/mm] n
> > 0, gilt
>
> exp(x) = [mm]\wurzel[n]{e^{m}}[/mm] = [mm]e^{m}[/mm] = [mm]e^{x}.[/mm]
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. )
>
>
>
> Funktionalgleichung für e: exp(a + b) = exp(a)*exp(b)
>
> exp(x) = [mm]exp\left(\bruch{m}{n}\right)[/mm] mit x = [mm]\bruch{m}{n}[/mm]
>
> [mm]exp\left(\bruch{m}{n}\right)[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{\left(exp\left(\bruch{m}{n}\right)\right)^n}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{\left(exp\left(\bruch{m}{n}\right)\right)*\left(exp\left(\bruch{m}{n}\right)\right)*\left(exp\left(\bruch{m}{n}\right)\right)*...*\left(exp\left(\bruch{m}{n}\right)\right)}[/mm]
> (n-mal)
>
> = [mm]\wurzel[n]{exp\left(\bruch{m}{n} + \bruch{m}{n} + \bruch{m}{n} + ... + \bruch{m}{n} \right)}[/mm]
> (n-mal mit exp(a + b) = exp(a)*exp(b))
>
> = [mm]\wurzel[n]{exp\left(n*\bruch{m}{n}\right)}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{exp\left(m\right)}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel[n]{exp\left(\bruch{m}{m}*m\right)}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{exp\left(\bruch{m}{m}+\bruch{m}{m}+\bruch{m}{m}+ ... + \bruch{m}{m}\right)}[/mm]
> (m-mal)
>
> =
> [mm]\wurzel[n]{exp\left(\bruch{m}{m}\right)*exp\left(\bruch{m}{m}\right)*exp\left(\bruch{m}{m}\right)* ... *exp\left(\bruch{m}{m}\right)}[/mm]
> (mit exp(a + b) = exp(a)*exp(b))
>
> = [mm]\wurzel[n]{\left(exp\left(\bruch{m}{m}\right)\right)^m}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel[n]{\left(exp(1)\right)^m}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{\left(e\right)^m}[/mm] (mit exp(1) = e)
>
> = [mm]e^\left(\bruch{m}{n}\right)[/mm]
>
> Ist das zumindest vom Grudgedanken her korrekt
Das ist sogar voellstaendig korrekt!
LG Felix
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