Beweis - Äquivalenz-Umformung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Aufgabe:
Seien a,b,c reelle Zahlen. Zeigen sie, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \varepsilon \IR ax^2+2bxy+cy^2 \ge [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] a [mm] \ge0 \wedge [/mm] c [mm] \ge0 \wedge ac-b^2 \ge0
[/mm]
Hallo!
Diese Aufgabe soll ich lösen... Zunächst einmal fehlt mir ein Einsatz. Ich nehme mal an, dass man irgendwas umformen und einsetzen muss, um das zubeweisen. Keine Ahnung.
Ich habe bereits versucht es schon mal in eine Richtung zu begründen ( [mm] \Leftarrow):
[/mm]
a [mm] \ge0 [/mm] und [mm] x^2 \ge0, [/mm] also [mm] ax^2 \ge0
[/mm]
c [mm] \ge0 [/mm] und [mm] y^2 \ge0, [/mm] also [mm] cy^2 \ge0
[/mm]
Dann bin ich aber bei dem 2bxy stecken geblieben.
Bitte helft mir.
Gruß Jenny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:51 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Balou |
Also hier mein Vorschlag für deine Rückrichtung:
Wenn a [mm]\ge0 \wedge[/mm] c [mm]\ge0 [/mm] existiert auch [mm] \wurzel{a} [/mm] und [mm] \wurzel{c}.
[/mm]
Zudem gilt dann auch:
$ [mm] (\wurzel{a}*x [/mm] + [mm] \wurzel{c}*y)^2 \ge [/mm] 0 , [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in \IR [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow a*x^2 [/mm] + 2* [mm] \wurzel{ac}*xy [/mm] + [mm] c*y^2 \ge [/mm] 0 $
Setze nun $ b := [mm] \wurzel{ac} [/mm] $ so erhälst du die Behauptung! (Dies ist erlaubt, da $ a und c [mm] \ge [/mm] 0 $ zudem wird dies auch durch die dritte Ungleichung $ [mm] \wedge ac-b^2 \ge [/mm] 0 $ bestätigt!
So jetzt darfst du mal die Rückrichtung versuchen!
Gruß
Balou
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Balou,
> Also hier mein Vorschlag für deine Rückrichtung:
>
> Wenn a [mm]\ge0 \wedge[/mm] c [mm]\ge0 [/mm] existiert auch [mm]\wurzel{a}[/mm] und
> [mm]\wurzel{c}.
[/mm]
>
> Zudem gilt dann auch:
>
> [mm](\wurzel{a}*x + \wurzel{c}*y)^2 \ge 0 , \forall x, y \in \IR[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a*x^2 + 2* \wurzel{ac}*xy + c*y^2 \ge 0[/mm]
>
>
> Setze nun [mm]b := \wurzel{ac}[/mm] so erhälst du die Behauptung!
Das ist etwas vorschnell. Deine Idee ist richtig, aber dieses $b$ so zu setzen, ist nicht wirklich erlaubt. Es könnte ja auch [mm] $|b|<\wurzel{ac}$ [/mm] gelten, es wird in dieser Richtung ja keine Gleichheit vorausgesetzt, sondern nur kleiner oder gleich.
Aber deine Idee ist durchaus verwertbar:
Es gilt also:
[mm] $(\star)$ $ax²+2\wurzel{ac}\;xy+cy² \ge [/mm] 0$ unter deinen genannten Voraussetzungen an $a,b$ und $c$.
Vollkommen analog überlegt man sich:
[mm] $(\star \star)$ $ax²-2\wurzel{ac}\;xy+cy² \ge [/mm] 0$
Das Fazit von [mm] $(\star)$ [/mm] und [mm] $(\star \star)$ [/mm] ist die Gültigkeit von folgender Ungleichung (für $a,c [mm] \ge [/mm] 0$, [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in \IR$):
[/mm]
[mm] $(\star \star \star)$ $ax²-2\wurzel{ac}\,|xy|+cy² \ge [/mm] 0$.
Nun wissen wir, dass $b² [mm] \le \wurzel{ac}$ [/mm] war, mit anderen Worten: $|b| [mm] \le \wurzel{ac}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star_1)$ [/mm] $-|b| [mm] \ge -\wurzel{ac}$.
[/mm]
Wegen [mm] $(\star_1)$ [/mm] und [mm] $(\star \star \star)$ [/mm] folgt dann:
[m]ax²-2|b||xy|+cy² \stackrel{(\star_1)}{\ge} ax²-2\wurzel{ac}\;|xy|+cy² \ge 0[/m], also insbesondere:
[mm] $(\star_2)$ [/mm] $ax²-2|bxy|+cy² [mm] \ge [/mm] 0$
Und nun kommen wir zur Fallunterscheidung:
1.Fall:
Es gelte $bxy [mm] \ge [/mm] 0$. Dann gilt mit [mm] $(\star_2)$:
[/mm]
$ax²+2bxy+cy² [mm] \ge [/mm] ax²-2bxy+cy² [mm] \ge [/mm] 0$.
2.Fall:
Es gelte $bxy [mm] \le [/mm] 0$. Dann gilt (wieder mit [mm] $(\star_2)$):
[/mm]
$ax²+2bxy+cy²=ax²-2|bxy|+cy² [mm] \ge [/mm] 0$.
Also gilt die Behauptung in allen Fällen.
Liebe Grüße
Marcel
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Hallöchen!
Ich bin bei (***) stecken geblieben. Verstehe nicht warum nicht [mm] ax^2+2 \wurzel{ac} \vmat{x & y}+cy^2 \ge0 [/mm] sondern [mm] ax^2-2 \wurzel{ac} \vmat{x & y}+cy^2 \ge0 [/mm] gilt.
Gruß Jenny
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Liebe Jenny,
> Hallöchen!
> Ich bin bei (***) stecken geblieben. Verstehe nicht warum
> nicht [mm]ax^2+2 \wurzel{ac} \vmat{x & y}+cy^2 \ge0[/mm]
Das gilt natürlich auch (ist aber hier banal); aber es ist eine schwächere Ungleichung als [m](\star \star \star)[/m]...
[mm] $(\star \star \star)$ [/mm] ist ja keine offensichtliche Ungleichung!
> sondern
> [mm]ax^2-2 \wurzel{ac} \vmat{x & y}+cy^2 \ge0[/mm] gilt.
Du willst also wissen, warum [mm] $(\star \star \star)$ [/mm] aus [mm] $(\star)$ [/mm] und [m](\star \star)[/m] folgt. Verstehe ich deine Frage richtig?
(Erinnerung: Für $a,c [mm] \ge [/mm] 0$, $b² [mm] \le [/mm] ac$ und [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $(\star)$ $ax²+2\wurzel{ac}\;xy+cy² \ge [/mm] 0$,
[mm] $(\star \star)$ $ax²-2\wurzel{ac}\;xy+cy² \ge [/mm] 0$,
[mm] $(\star \star \star)$ $ax²-2\wurzel{ac}\,|xy|+cy² \ge [/mm] 0$.
Hiervon ist [mm] $(\star)$ [/mm] bewiesen worden, [mm] $(\star \star)$ [/mm] kann man analog dazu beweisen und ich habe behauptet, dass man aus [mm] $(\star)$ [/mm] und [m](\star \star)[/m] folgern kann, dass [mm] $(\star \star \star)$ [/mm] gilt!)
Überlege dir doch einfach wieder zwei Fälle:
1.Fall:
Ist $(x*y) <0$, so folgt aus [mm] $(\star)$:
[/mm]
[mm] $ax²+2\wurzel{ac}\;xy+cy² \ge [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $ax²+2\wurzel{ac}\,*(\underbrace{-|xy|}_{=xy})+cy² \ge [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $ax²-2\wurzel{ac}\,|xy|+cy² \ge [/mm] 0$, also [mm] $(\star \star \star)$.
[/mm]
2.Fall::
Ist [mm] $(x*y)\ge [/mm] 0$, fo folgt [mm] $(\star \star \star)$ [/mm] wegen $xy=|xy|$ direkt aus [m](\star \star)[/m].
Wie gesagt, [mm] $(\star \star \star)$ [/mm] ist natürlich stärker als [mm]ax^2+2 \wurzel{ac} \vmat{x & y}+cy^2 \ge0[/mm].
[mm] $(\star \star \star)$ [/mm] ist ja nicht trivial, sondern man muss sich schon überlegen, dass das gilt.
Ist es jetzt klarer geworden? 
Liebe Grüße,
Marcel
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