Beweis 1. Ableitung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass für [mm] q\in \IQ [/mm] unf [mm] f:\IR^+ \to \IR [/mm] mit f(x)= = [mm] x^q [/mm] gilt: [mm] f'(x)=qx^{q-1} [/mm] |
Hallo zusammen,
habe folgendes Problem mit dieser Aufgabe. Wollte dass per vollständiger Induktion zeigen, indem ich zeige:
[mm] (x^{q-1})' [/mm] = [mm] (q-1)x^{q-2} [/mm] gilt, aber dann kann ich doch nicht von q auf q+1 schließen im Induktionsschritt da ja q [mm] \in \IQ [/mm] ist und leider icht in [mm] \IN.
[/mm]
Kann mir da jemand helfen, oder gehts vielleicht ganz anders??
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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Deine Angaben sind nicht korrekt. Die Potenz [mm]x^q[/mm] ist bei beliebigem Parameter [mm]q \in \mathbb{Q}[/mm] für [mm]x \leq 0[/mm] gar nicht definiert.
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Hast recht, sorry!!!
In der Aufgabenstellung muss es heißen [mm] f:\IR^+ \to \IR
[/mm]
Werds schnell ändern.
viele Grüße, mathedepp_No.1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 So 14.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
man kann nicht nur per vol.ind. beweisen, sondern auch mit hilfe eines satz.
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der da wäre???
kann dir leider nicht ganz folgen...
hilfst du mir??
viele grüße, der mathedepp_No.1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 So 14.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
<der da wäre???
der steht in deinen skript.
also, was habt ihr zu dif.barkeit definiert?
da f(x) gegen deine funk. tauchen und mal schauen, was passiert.
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ok, komme damit auf folgendes
[mm] f'(x)=\limes_{y\rightarrow\ x} \bruch{f(y)-(f(x)}{y-x}=\limes_{y\rightarrow\ x} \bruch{y^q-x^q}{y-x} [/mm] mit [mm] y\not=x
[/mm]
und jetzt, jetzt komme ich aber schon leider nicht mehr weiter....
viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 So 14.01.2007 | | Autor: | thoma2 |
das kann man auch anders aufschreiben.
wie sieht es aus, wenn man h:= x-y def.?
und dann [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] betrachtet?
sowas in der art steht sicher auch bei euch im skript
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hallo,
> das kann man auch anders aufschreiben.
> wie sieht es aus, wenn man h:= x-y def.?
> und dann [mm]\limes_{h\rightarrow\0}[/mm] betrachtet?
> sowas in der art steht sicher auch bei euch im skript
>
Im Skript leider nicht, aber in nem Buch habe ich folgendes gefunden:
[mm] f'(x_0)=\limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
komme damit aber leider nicht zurecht, kannst du's mir vielleicht zeigen???
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 So 14.01.2007 | | Autor: | Barncle |
Hi!
Also, dass was da steht nennt man übrigens den Differenzenquotient!
und eigentlich muss du nur genau das machen, was da steht!
Also statt f setzt du deine Funktion ein! Einmal an der stelle [mm] x_0 [/mm] und einmal an der Stelle [mm] x_0 + h [/mm].
ja dann formst du das so um, dass wenn du h gegen 0 gehen lässt, nichtmehr [mm] \infty [/mm] oder 0 raus kommt (bissi spielen) und damit hast dus bewiesen!
Grüße Gregor
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hallo,
habe schon verstanden was ich machen muss, aber das umformen gelingt mir leider nicht, sodann ich h gegen null laufen lassen kann,
kann mir das nicht mal jemand demonstrieren??
Viele GRüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:27 So 14.01.2007 | | Autor: | Barncle |
Also dann halt detailliert! :)
nach dem einsetzen erhältst du:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch {x_0^q - (x_0^+ h)^q} {h} [/mm]
gut jetzt multiplizierst du mal die klamer aus! dann kürzen sich die [mm] x_0^q [/mm] weg (wegen dem minus) und in allen thermen steht ein h! gut, jetzt kannst du das h im Nenner mit denen oben wegkürzen und du erzältst einen Term der nicht von h abhängig ist, nämlich [mm] qx^(q-1) [/mm] ja... wenn du jetzt h gegen null gehn lässt, dann fallen die alle andere Therme außer der weg.. und voila! ;) geschafft! hoff die erklärung reicht ;)
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> Also dann halt detailliert! :)
>
>
> nach dem einsetzen erhältst du:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch {x_0^q - (x_0^+ h)^q} {h}[/mm]
>
> gut jetzt multiplizierst du mal die klamer aus! dann kürzen
> sich die [mm]x_0^q[/mm] weg (wegen dem minus) und in allen thermen
> steht ein h! gut, jetzt kannst du das h im Nenner mit denen
> oben wegkürzen und du erzältst einen Term der nicht von h
> abhängig ist, nämlich [mm] qx^(q-1)[/mm] ja... wenn du jetzt h
> gegen null gehn lässt, dann fallen die alle andere Therme
> außer der weg.. und voila! ;) geschafft! hoff die erklärung
> reicht ;)
leider noch nicht ganz: habe dann dem wegstreichen von [mm] x_0^q [/mm] da stehen [mm] \bruch{h^q}{h}= h^{q-1}
[/mm]
und jetzt??
hilfst du mir nochmal fix??
viele Grüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 So 14.01.2007 | | Autor: | Barncle |
:) also [mm] (x_0 + h)^q [/mm] ist doch nicht [mm] x_0^q + h^q [/mm] !!!
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achne also binomialentwicklung, ne???
Aber wie sieht das nochmal aus??
viele grüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 So 14.01.2007 | | Autor: | Barncle |
schau mal in nem mathelexikon oder www.wikipedia.org.....
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Hallo Barncle,
ich sitze an der gleichen Aufgabe. Ich weiß ja, dass solche sachen wie die binomialverteilung eigentlich im schlaf sitzen müssten, allerdings fehlt es mir gerad an solchen grundlagen.
Deswegen wäre es ganz lieb, wenn du es mir an diesem Beispiel einmal vorrechnen könntest. Ich würde gerne mal die zwischenschritte verstehen wollen, weil irgendwie alle das als "muss-man-können" voraussetzten, (was ja auch stimmen sollte).
[mm] \summe_{k=0}^{q}\vektor{q \\ k}x_{0}^{q-k} h^{k}
[/mm]
soviel zur theorie,oder?
vielen dank für deim bemühen!
lg mathe_aeffchen
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> Hallo Barncle,
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> ich sitze an der gleichen Aufgabe. Ich weiß ja, dass solche
> sachen wie die binomialverteilung eigentlich im schlaf
> sitzen müssten, allerdings fehlt es mir gerad an solchen
> grundlagen.
> Deswegen wäre es ganz lieb, wenn du es mir an diesem
> Beispiel einmal vorrechnen könntest. Ich würde gerne mal
> die zwischenschritte verstehen wollen, weil irgendwie alle
> das als "muss-man-können" voraussetzten, (was ja auch
> stimmen sollte).
> [mm]\summe_{k=0}^{q}\vektor{q \\ k}x_{0}^{q-k} h^{k}[/mm]
> soviel
> zur theorie,oder?
> vielen dank für deim bemühen!
> lg mathe_aeffchen
Hallo,
ja das [mm] \summe_{k=0}^{q}\vektor{q \\ k}x_{0}^{q-k} h^{k} [/mm] ist [mm] (x_0+h)^q
[/mm]
Und mit dieser Darstellung betrachtest du nun den Differenzenquotienten
[mm] \bruch{(x_0+h)^q-x_0^q}{h} [/mm] = [mm] \bruch{1}{h}*\left((\summe_{k=0}^{q}\vektor{q \\ k}x_{0}^{q-k} h^{k})-x_0^q\right)
[/mm]
Aus der Summe kannst du nun den ersten Summanden (also für k=0) rausziehen:
[mm] =\bruch{1}{h}*\left(x_0+(\summe_{k=1}^{q}\vektor{q \\ k}x_{0}^{q-k} h^{k})-x_0^q\right) [/mm] denn [mm] \vektor{q \\ 0}x_0^{q-0}h^0=x_0^q
[/mm]
Nun fällt [mm] x_0^q [/mm] gegen [mm] -x_0^q [/mm] weg, und man kann h ausklammern:
[mm] =\bruch{1}{h}*\left(h(\summe_{k=1}^{q}\vektor{q \\ k}x_{0}^{q-k} h^{k-1})\right)
[/mm]
Nun h kürzen
[mm] =\summe_{k=1}^{q}\vektor{q \\ k}x_{0}^{q-k} h^{k-1}
[/mm]
Nun das selbe Spiel wie oben, den ersten Summanden rausziehen:
[mm] =qx_0^{q-1}h^0+\left(\summe_{k=2}^{q}\vektor{q \\ k}x_{0}^{q-k} h^{k-1}\right)
[/mm]
Nun lässt du h gegen 0 laufen. Dann stehen in der Summe lauter 0'en und vor der Summe hast du [mm] qx_0^{q-1}0^0=qx_0^{q-1}
[/mm]
Ich hoffe, die Schritte sind gut genug erklärt, dass es hilft ;)
Lieben Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Barncle |
Ohoh.. wurde grad darauf hingewiesen, dass in der Angabe ja q [mm] \in \IQ [/mm] steht!! Dann geht der Binomische Lehrsatz leider nicht.. sry... dann doch irgendwie anders.. aba ich hab keinen Plan!
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Huch, nach diesem kurzen Schock und einem Blick auf WIKIPEDIA
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz
können wir hoffentlich beruhigt sein, denn der binom. Lehrsatz gilt sogar für Exponenten [mm] \in\IC, [/mm] nur läuft ist die Summe dann endlich, aber das ist ja nicht weiter schlimm, da wir nur die ersten Summanden rausgefischt haben.
Hoffe ich zumindest
Puh und Gruß
schachuzipus
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Die Summe läuft UNendlich (nicht endlich)
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Hallo schachuzipus,
Wow!!!!!!!!! das war spitze erklärt!!!!! hab alles verstanden und konnte deine schritte nachvollziehen!!!
vielen dank!
hast mich echt motiviert, in ana doch noch was zu verstehen!
lg mathe_aeffchen
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:02 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ich war das mit dem Hinweis, siehe hier
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 16.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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