Beweis Ableitung Nullstelle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Sei f:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] differenzierbar und f'(a) > 0 und f'(b) < 0. Zeigen Sie, dass ein [mm] x_{0} [/mm] existiert mit [mm] f'(x_{0}) [/mm] = 0. |
Guten Tag,
ich bräuchte bei dieser Aufgabe eure Hilfe. Ich kann mir schon denken das man hier den Zwischenwertsatz oder/und den Mittelwertsatz anwenden muss.
Also: Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein c [mm] \in [/mm] (a,b) so dass f'(c) = [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] gilt. Damit erreiche ich aber ja nicht jeden Punkt... Habe dann gedacht das ich nur mit der h methode weiterkomme...
Sei f': (a, b-h) -> [mm] \IR, [/mm] f'(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}. [/mm] Und nun habe ich keine Idee mehr... Ich weiß ja nicht mal ob f' stetig ist...
Hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Mo 28.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Mit Hilfe des Differenzenquotienten sieht man: es ex. [mm] x_1, x_2 \in [/mm] [a,b] mit:
(*) [mm] x_1>a, x_2a [/mm] und [mm] f(x_2)
Edit: ich hab mich vertippt. Es muß lauten: [mm] f(x_2)>b
[/mm]
Da f stetig ist ex. [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] : f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].
Wegen (*) ist [mm] x_0 \in [/mm] (a,b), also ist [mm] f'(x_0)=0.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ich denke ich habs verstanden. Werde es mir aber noch genauer anschauen. Danke dir.
LG Loriot95
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