Beweis B^{n}=S^{-1}*A^{n}*S < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Sa 28.04.2007 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | Sei A eine nxn Matrix, S eine invertierbare nxn Matrix und [mm] B:=S^{-1}*A*S.
[/mm]
z.z. [mm] B^{n}=S^{-1}*A^{n}*S [/mm] |
hi, ich denk mal das ist gar net so schwer aber ich komm einfach nicht auf nen einfachen Beweis. Denk mal das wird mit Induktion funktionieren kann mir das jemand mal zeigen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Sa 28.04.2007 | | Autor: | lch |
Stimmt, kann man so wohl machen: [mm] B^n [/mm] = B * Bn-1, dann Induktion anwenden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Sa 28.04.2007 | | Autor: | ttgirltt |
Mh hilft mir leider noch nicht so ganz.
[mm] B^{n}=S^{-1}*A^{n}*S [/mm]
soll ich doch beweisen. Wie wende ich das darauf an?
|
|
|
| |
|
Hallo ttgirltt,
Also:
Ind.schritt von [mm] $n-1\longrightarrow [/mm] n$
Ind.Vor.: [mm] $B^k=S^{-1}A^kS$ [/mm] für alle [mm] $k\le [/mm] n-1$
Dann ist [mm] $$B^n=BB^{n-1}=\underbrace{(S^{-1}AS)}_{=B}\underbrace{(S^{-1}A^{n-1}S)}_{=B^{n-1}}$$
[/mm]
Die Matrizenmultipl. ist assozialtiv, also ist das
[mm] $=(S^{-1}A)(SS^{-1})(A^{n-1}S)=S^{-1}(AA^{n-1})S=S^{-1}A^nS$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
