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Hallo!
Wir hatten den Fispunktsatz von Banach in folgender Form:
Ist [mm] f:X\rightarrow [/mm] X eine starke Kontraktion von einem vollständigen metrischen Raum X, dann hat f einen eindeutigen Fixpunkt [mm] \overline{x} [/mm] und es gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f^{n}(x_{0}) [/mm] = [mm] \overline{x}.
[/mm]
Wie ist dies zu verstehen? Als die n-te Ableitung???
Den Beweis zur Eindeutigkeit habe ich verstanden, aber den Beweis zur Existenz und Konvergenz nicht...
Wir habe es folgendermaßen gemacht:
Sei [mm] x_{0}\in [/mm] X beliebig, definiere: [mm] x_{n}:=f^{n}(x_{0}) [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Dies ist eine Cauchyfolge, denn
[mm] d(x_n,x_m)\le \summe_{i=n}^{m-1} d(x_i,x_{i+1}) \le \lambda^{n} \summe_{i=0}^{m-1-n}d(x_i,x_{i+1}) \le \lambda^{n} (\summe_{i=0}^{m-1-n} \lambda_i) d(x_0,x_1) \le \bruch{\lambda^{n}}{1-\lambda}d(x_0,x_1)
[/mm]
Hier "sehe" ich, dass wir beim ersten [mm] \le [/mm] die Dreiecksungleichung angewendet haben... aber die darauffolgenden Abschätzungen verstehe ich nicht. Kann sie mir jemand erklären?
Und wieso folgt dann die Existenz und Konvergenz aus der Cauchyfolge???
Viele Grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mo 17.04.2006 | | Autor: | AT-Colt |
> Hallo!
Hallo Dancingestrella,
> Wir hatten den Fispunktsatz von Banach in folgender Form:
> Ist [mm]f:X\rightarrow[/mm] X eine starke Kontraktion von einem
> vollständigen metrischen Raum X, dann hat f einen
> eindeutigen Fixpunkt [mm]\overline{x}[/mm] und es gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f^{n}(x_{0})[/mm] = [mm]\overline{x}.[/mm]
>
> Wie ist dies zu verstehen? Als die n-te Ableitung???
[mm] $f^{n}(x)$ [/mm] ist in diesem Fall gemeint als das n-malige Anwenden von $f$ auf x. Es ist z.B. [mm] $f^{2}(x) [/mm] = f(f(x))$. Das Ganze kannst Du Dir wie Treibsand vorstellen, der in einem Tricher abfließt. Wenn Du Dich an einen Punkt setzt, wirst Du nach jeder Zeiteinheit (Anwendung der Funktion) ein Stückchen näher an den Strudel (Fixpunkt) gezogen.
[snip]
> Hier "sehe" ich, dass wir beim ersten [mm]\le[/mm] die
> Dreiecksungleichung angewendet haben... aber die
> darauffolgenden Abschätzungen verstehe ich nicht. Kann sie
> mir jemand erklären?
Ich kann es versuchen:
[mm]d(x_n,x_m)\underbrace{\le}_{Dreiecksungleichung} \summe_{i=n}^{m-1} d(x_i,x_{i+1}) \underbrace{\le}_{(*) starke Kontraktion} \lambda^{n} \summe_{i=0}^{m-1-n}d(x_i,x_{i+1}) \underbrace{\le}_{(**) starke Kontraktion} \lambda^{n} (\summe_{i=0}^{m-1-n} \lambda^{i}) d(x_0,x_1) \underbrace{\le}_{(***) A-priori-Abschätzung} \bruch{\lambda^{n}}{1-\lambda}d(x_0,x_1)[/mm]
Leg bitte besonderes Augenmerk auf das [mm] $\lambda$ [/mm] nach dem Summenzeichen zwischen (**) und (***). Hier hattest Du i als Index geschrieben, es muss aber als Exponent auftreten.
(*) Die starke Kontraktion dürfte eine Abschätzung $0 < [mm] \lambda [/mm] < 1$ liefern in der Form, dass $d(f(x),(y)) [mm] \le \lambda \cdot [/mm] d(x,y)$ gilt. Sagt Dir der Begriff Lipschitz-Konstante etwas?
Hier wurden die Indizes um n Stellen nach [mm] $x_0$ [/mm] verschoben, was bei jeder Verschiebung den Faktor [mm] $\lambda$ [/mm] erzeugt hat.
(**) Hier wurden nun alle Distanzen auf [mm] $d(x_{0},x_{1})$ [/mm] abgeschätzt, was pro Summand [mm] $d(x_{i},x_{i+1})$ [/mm] i-mal den Faktor [mm] $\lambda$ [/mm] erzeugt hat.
(***) Das hat für beliebige $m [mm] \in \IN$ [/mm] dann auf die A-priori-Abschätzung [mm] $d(x_{n},y) \le \bruch{\lambda^{n}}{1-\lambda} d(x_{0},x_{1})$ [/mm] geführt, indem man m gegen unendlich hat gehen lassen.
> Und wieso folgt dann die Existenz und Konvergenz aus der
> Cauchyfolge???
Ein vollständiger Raum ist gerade ein Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert. Liegt also eine Cauchy-Folge im vollständigen Raum vor (was Du jetzt gezeigt hast), konvergiert diese automatisch, hat also einen Grenzwert.
> Viele Grüße, dancingestrella
/e
Jetzt (hoffentlich) ohne Dreckfuhler.
greetz
AT-Colt
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Hallo,
die Abschätzungen habe ich nun verstanden, danke 
Aber mir fehlt noch der Zusammenhang zur Aussage des Satzes.
Also mir ist klar, dass wir gezeigt haben, dass [mm] f^n(x_0) [/mm] nun eine Cauchy-Folge ist und da wir uns in einem vollständigen metrischen Raum befinden sie einen (eindeutigen) Grenzwert hat.
Aber wo steckt nun drin, dass f einen eindeutigen Fixpunkt [mm] \overline{x} [/mm] hat und, dass die Cauchyfolge gegen diesen Fixpunkt konvergiert?
Viele Grüße, dancingstrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Di 18.04.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> Also mir ist klar, dass wir gezeigt haben, dass [mm]f^n(x_0)[/mm]
> nun eine Cauchy-Folge ist und da wir uns in einem
> vollständigen metrischen Raum befinden sie einen
> (eindeutigen) Grenzwert hat.
> Aber wo steckt nun drin, dass f einen eindeutigen Fixpunkt
> [mm]\overline{x}[/mm] hat und, dass die Cauchyfolge gegen diesen
> Fixpunkt konvergiert?
es genügt ja zu zeigen, dass [mm]f^n(x_0)[/mm] gegen einen fixpunkt konvergiert, da damit die existenz eines fixpunkts gezeigt ist - die eindeutigkeit wird später noch gezeigt.
die folge [mm]f^n(x_0)[/mm] konvergiere für $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen [mm] $\overline{x}$. [/mm] es genügt zu zeigen, dass [mm] $f(\overline{x}) [/mm] = [mm] \overline{x}$, [/mm] dann ist [mm] $\overline{x}$ [/mm] ein fixpunkt von $f$.
nach definition gilt [mm] $x_n [/mm] = [mm] f(x_{n-1})$. [/mm] betrachtet man nun den grenzwert für $n [mm] \to \infty$, [/mm] so erhalt man (wegen der stetigkeit von $f$ darf man die funktionswertbildung und die grenzwertbildung vertauschen ["folgenstetigkeit"]):
[m] \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} f(x_{n-1}) = f\left(\lim_{n \to \infty} x_{n-1} \right) [/m].
da [mm] $(x_n)$ [/mm] und damit auch [mm] $(x_{n-1})$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen [mm] $\overline{x}$ [/mm] konvergiert erhält man also
[m] \overline{x} = f(\overline{x}) [/m],
also ist [mm] $\overline{x}$ [/mm] ein fixpunkt von $f$.
grüße
andreas
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Hallo...
habe dummerweise eine Zwangspause einlegen müssen.
Wieso ist denn
[mm] x_n [/mm] = [mm] f(x_{n-1})??? [/mm] Am Anfang wurde doch [mm] x_n [/mm] folgendermaßen definiert:
[mm] x_n:=f^{n}(x_0)... [/mm]
Dass dann aber damit die Fixpunkteigenschaft gezeigt ist, ist dann klar. Danke
dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 26.04.2006 | | Autor: | andreas |
hi
die definitionen sind äquivalent - die in der aufgabe gegebene darstellung ist explizit und die von mir verwendete ist rekursiv:
offensichtlich ist [mm] $x_1 [/mm] = [mm] f^1(x_0) [/mm] = [mm] f(x_0)$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] = [mm] f^2(x_0) [/mm] = [mm] f(f(x_0)) [/mm] = [mm] f(x_1)$ [/mm] und so weiter ...
wenn man dies ausführlich zeigen will, kann man das mit vollständiger induktion machen, aber ich denke dir wird das auch klar, wenn du dir einfach mal die ersten paar folgenglieder so hinschreibst.
grüße
andreas
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Na klar
Nun hänge ich aber an einer anderen Stelle. Hat eigentlich eher indirekt etwas mit dem Beweis zu tun:
Die Stetigkeit von einer starken Kontraktion f: X [mm] \rightarrow [/mm] X.
Davon weiß ich ja nur:
[mm] \exists \lambda [/mm] < 1 [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X:
d(f(x),f(y)) [mm] \le \lambda [/mm] d(x,y).
Ich möchte die Stetigkeit einer starken Kontraktion mit dem [mm] \epsilon-\delta [/mm] - Kriterium nachweisen. Wie gehe ich da am besten ran? Ich weiß gar nicht mehr wie man das macht (die Vorlesung Differentialgleichungen bietet echt eine super Gelegenheit zum Auffrischen aller Analysis-Sachen )
Liebe Grüße, dancingestrelle
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Hallo estrella,
mal in worten: stetigkeit bedeutet doch, dass wenn man am argument einer funktion ein wenig wackelt auch der funktionswert nur ein wenig wackeln darf. wenn du dir daraufhin die def. der kontraktion anschaust, steht es ja eigentlich schon da: wenn zwei argumente $x$ und $y$ sich nur wenig unterscheiden, ergo $d(x,y)$ klein ist, kann ich $d(f(x),f(y))$ sofort abschätzen. daraus folgt die stetigkeit...
VG
Matthias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:09 Di 01.05.2007 | | Autor: | shatun |
Ja, habe ich eine Frage. Dieselbe Aufgabe, aber statt lambda gebe es eine Folge c(n) grösser-gleich Null und die Reihe für diese Folge ist kleiner unendlich. Wie soll ich handeln? Danke voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Sa 05.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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