Beweis Bedingung direkte Summe < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:14 So 08.12.2013 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Es seien (b1,....,bm) eine Basis von U1 und (c1,...,cn) eine Basis von U2.
Zeigen Sie:
Die Summe U1 + U2 ist genau dann direkt, wenn die Menge (b1,...,bm,c1,...cn)
eine Basis von U1 + U2 ist |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Meine Lösung:
Wenn (b1,....,bm,c1,...,cn) eine Basis von U1+U2 ist, dann ist U1+U2=<b1,...,bm,c1,...,cn> Außerdem ist (b1,....,bm,c1,...,cn) maximale lineare Teilmenge von U1+U2 also ist kein Element von (c1,...,cn) als Linearkombination von Elementen aus (b1,...,bm) darstellbar und kein Element von (b1,...,bm) als Linearkombination von (c1,...,cn). Also ist kein cj Element von (c1,...,cn) j Element (1,...,n) Element von <b1,...,bm>. Analog für bj.
Also ist kein nichttriviales Element <c1,...,cn>=U2 Element von <b1,...,bm>=U1
Somit gibt es keine gemeinsamen Elemente in U1 und U2 außer dem Nullvektor und U1 Schnitt U2 = (0)
Sei nun U1+U2 direkt, dann gibt es kein Element von <b1,...,bm> das auch Element von <c1,...,cn> ist außer dem Nullvektor. Dann kann kein Element von B1 = (b1,...,bm) auch Element von B2 =(c1,...,cn) sein.
Somit ist <c1,...,cn>+<b1,...,bm> = <b1,...,bm,c1,...,cn> und (b1,...,bm,c1,...,cn) davon die Basis, weil kein Element sowohl in B1 als auch in B2 liegt.
Ist das korrekt?
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Hallo,
beschäftige Dich bitte damit wie man Indizes setzt, Elementzeichen schreibt etc.
> Es seien (b1,....,bm) eine Basis von U1 und (c1,...,cn)
> eine Basis von U2.
> Zeigen Sie:
> Die Summe U1 + U2 ist genau dann direkt, wenn die Menge
> (b1,...,bm,c1,...cn)
> eine Basis von U1 + U2 ist
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Meine Lösung:
"<=="
> Wenn (b1,....,bm,c1,...,cn) eine Basis von U1+U2 ist, dann
> ist U1+U2=<b1,...,bm,c1,...,cn>
Ja.
> Außerdem ist
> (b1,....,bm,c1,...,cn) maximale lineare
linear unabhängige
> Teilmenge von U1+U2
Ja.
> also ist kein Element von (c1,...,cn) als Linearkombination
> von Elementen aus (b1,...,bm) darstellbar und kein Element
> von (b1,...,bm) als Linearkombination von (c1,...,cn).
Ja.
> Also
> ist kein cj Element von (c1,...,cn) j Element (1,...,n)
> Element von <b1,...,bm>.
Ja.
> Analog für bj.
Ja.
> Also ist kein nichttriviales Element <c1,...,cn>=U2
> Element von <b1,...,bm>=U1
Das stimmt zwar, folgt aber nicht aus daraus daß kein [mm] c_j [/mm] in der Basis von [mm] U_1 [/mm] ist und umgekehrt.
Mach es so:
sei u [mm] \in U_1\cap U_2.
[/mm]
Dann kann man u schreiben als ... und auch als ...
Also ist ...=... <==> ...=0.
==> ...=... ... ... ... ...=0
> Somit gibt es keine gemeinsamen Elemente in U1 und U2
> außer dem Nullvektor und U1 Schnitt U2 = (0)
"===>"
> Sei nun U1+U2 direkt, dann gibt es kein Element von
> <b1,...,bm> das auch Element von <c1,...,cn> ist außer dem
> Nullvektor.
Ja.
Dann kann kein Element von B1 = (b1,...,bm)
> auch Element von B2 =(c1,...,cn) sein.
Stimmt.
> Somit ist <c1,...,cn>+<b1,...,bm> = <b1,...,bm,c1,...,cn>
Das ist stets der Fall, auch ohne besondere Voraussetzungen.
> und (b1,...,bm,c1,...,cn) davon die Basis, weil kein
> Element sowohl in B1 als auch in B2 liegt.
Das reicht als Begründung nicht.
Daß es ein Erzeugendensystem ist, ist klar.
Für Basis mußt Du noch die lineare Unabhängigkeit von
> (b1,...,bm,c1,...,cn)
glaubhaft machen.
LG Angela
> Ist das korrekt?
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