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Forum "Logik" - Beweis Distributivgesetz Index
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Beweis Distributivgesetz Index: Indexmenge, Distributivgesetz
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:26 So 13.01.2013
Autor: Masseltof

Aufgabe
Seien I [mm] \not= \emptyset [/mm] eine beliebige nichtleere Indexmenge sowie A und [mm] B_{i} [/mm] Mengen, i [mm] \in [/mm] I.
Beweisen Sie die Distributivgesetze:

a) [mm] A\cap(\bigcup_{i \in I} B_{i})= \bigcup_{i \in I} (A\cap B_{i}) [/mm]
b) [mm] A\cup(\bigcap_{i \in I} B_{i})= \bigcap_{i \in I} (A\cup B_{i}) [/mm]


Guten Abend.

Zur obigen Aufgabe lautet mein Ansatz wie folgt:
a)

[mm] x\in (A\cap (\bigcup_{i \in I} B_{i})) \Rightarrow x\in A\wedge x\in \{x | \exists i \in I : x \in B_{i}\} \Rightarrow x\in\{x | x\in A\wedge i\in I: x\in B_{i}\} \Rightarrow x\in A\wedge x\in B_{i} \Rightarrow x\in (A\cap B_{i}) \subset \bigcup_{i \in I} (A\cap B_{i}) [/mm]

[mm] x\in\bigcup_{i \in I} (A\cap B_{i}) \Rightarrow x\in \{x| \exists i \in I: x\in (A\cap B_{i})\} \Rightarrow x\in\{x| \exists i\in I : x \in B_{i} \wedge x \in A\}\Rightarrow x\in A\wedge x\in\{x|\exists i \in I: x\in B_{i}\} \Rightarrow x\in A\cap(\bigcup_{i\in I} B_{i}) \subset x\in A\cap(\bigcup_{i\in I} B_{i} [/mm]

Den Schluss finde ich überflüssig. Ich könnte doch folgendermaßen vorgehen:

[mm] 1.x\in (A\cap (\bigcup_{i \in I} B_{i})) \Rightarrow x\in A\wedge x\in \{x | \exists i \in I : x \in B_{i}\} \Rightarrow x\in\{x | x\in A\wedge i\in I: x\in B_{i}\} [/mm]

[mm] 2.x\in\bigcup_{i \in I} (A\cap B_{i}) \Rightarrow x\in \{x| \exists i \in I: x\in (A\cap B_{i})\} \Rightarrow x\in\{x| \exists i\in I : x \in B_{i} \wedge x \in A\} [/mm]

Man sieht die Gleichheit der Menge, also müssen die Ausgangsmengen auch gleich sein.

Ist das so i.O?
Über eine Kontrolle würde ich mich freuen.

Grüße

        
Bezug
Beweis Distributivgesetz Index: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Fr 18.01.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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