Beweis Fläche Viereck < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise dass die Flàche des abgebildeten Vierecks ABCD mit AB=x und CD=AD=BC=y in Funktion von [mm] \theta
[/mm]
[mm] A(\theta)=\bruch{1}{4}*|x^2-y^2|*\wurzel{\bruch{4y^2}{x^2+y^2-2xy\cos\theta}-1} [/mm] ist!
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Kann mir bitte jemand einige Tipps dazu geben?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Sonnenblume,
die Zeichnung ist leider praktisch nicht zu erkennen ...
LG Al-Chw.
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So, jetzt mùsste es besser sein.
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> Beweise, dass die Fläche des abgebildeten Vierecks ABCD mit
> AB=x und CD=AD=BC=y in Funktion von [mm]\theta[/mm]
>
> [mm]A(\theta)=\bruch{1}{4}*|x^2-y^2|*\wurzel{\bruch{4y^2}{x^2+y^2-2xy\cos\theta}-1}[/mm]
> ist!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Kann mir bitte jemand einige Tipps dazu geben?
Hallo Sonnenblume,
entweder übersehe ich etwas, oder es handelt sich hier
um eine Aufgabe, bei der man sich recht tief hinein
knieen muss ...
Bisher ist mir aufgefallen:
Konstruiert man den Punkt E (auf dem linken Kreis),
für welchen AECD ein Rhombus ist und definiert man
[mm] z:=|\overline{EB}|, [/mm] so entspricht der Term [mm] x^2+y^2-2xy\cos\theta [/mm] , der
unter der Wurzel im Nenner vorkommt, dem Quadrat
von z .
Ob diese Betrachtung aber irgendwie weiter helfen
könnte, ist mir (leider) (noch) nicht klar ...
LG Al-Chw.
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Danke fùr deine Hilfe. Nun wenn du die Figur unten ansiehst, hat man jetzt das Viereck aufgeteilt: Wir haben einen Rhombus und zwei Dreiecke. Ich habe es geschafft die Flàchen der beiden Dreiecke mit x,y und [mm] \theta [/mm] auszudrùcken, komme aber mit der Flàche des Rhombus nicht weiter.
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Danke fùr deine Hilfe. Nun wenn du die Figur unten
> ansiehst, hat man jetzt das Viereck aufgeteilt: Wir haben
> einen Rhombus und zwei Dreiecke.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich das recht verstehe, meinst du also den Rhombus
AECD und die Dreiecke ABE und BCE , oder ?
Wie drückst du denn den Inhalt des Dreiecks BCE mittels
y und [mm] \theta [/mm] aus ? Welchen Winkel dieses Dreiecks
konntest du durch [mm] \theta [/mm] ausdrücken ?
> Ich habe es geschafft die
> Flàchen der beiden Dreiecke mit x,y und [mm]\theta[/mm]
> auszudrùcken, komme aber mit der Flàche des Rhombus nicht
> weiter.
Es ist klar, dass man nebst [mm] \theta [/mm] noch einen weiteren
Winkel braucht. Der Cosinussatz im Dreieck ABE (für die
Strecke [mm] z=|\overline{BE}| [/mm] kann ein erster Schritt dazu sein.
Davon ausgehend, kann man jedenfalls alle um den Punkt
E herum gelagerten Winkel berechnen und hat damit auch
einen, der mit y zusammen die Flächenberechnung des
Rhombus erlaubt.
Die (eventuell umständliche) Flächenformel, die man
so erreichen kann, muss man dann noch zu vereinfachen
versuchen.
LG Al-Chw.
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Ich habe die Flàche des Dreiecks BCE mit Hilfe der Heron'schen Dreiecksformel berechnet, da ich alle drei Seiten kenne.
Wie du schon gesagt hast, es kommt eine sehr sehr lange und umstàndliche Formel heraus, diese zu vereinfachen ist sicher kein Kinderspiel...
Ich bin mir sicher dass es auch noch einen einfacheren und schnelleren Weg ans Ziel gibt, leider tappe ich aber noch im Dunkeln...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 So 19.06.2011 | | Autor: | frolo28 |
Hallo Sonnenblume,
ich bin auch mal an einer Aufgabe hängen geblieben obwohl ich die Lösung schon hatte aber sie nicht erkennen konnte. Das schöne hierbei ist, dass man sich alles zeichnen kann und darin liegt auch die Lösung.
Wenn ich es richtig verstanden habe ist der Winkel definiert zwischen CD und der Horizontalen.
Es gibt nur einen begrenzten Bereich auf den beiden Kreise, die durch die Geraden AD, CD und BC mit der Länge y als Viereck dargestellt werden kann.
Konstruiere ein Viereck mit Bleistift und Zirkel und schreibe den Vorgang als deine Berechnung auf.
Grüße
Frolo28
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Hmm, deiner Aussage nach zu urteilen liegt die Lòsung vor meiner Nase, nur sehe ich sie nicht... Kònntest du mir vielleicht deine Vorgehensweise etwas genauer erklàren? Habe die Zeichnungen selbst erstellt, nur wie ich von der Zeichnung zur Formel komme ist mir unklar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Mo 20.06.2011 | | Autor: | weduwe |
> Hmm, deiner Aussage nach zu urteilen liegt die Lòsung vor
> meiner Nase, nur sehe ich sie nicht... Kònntest du mir
> vielleicht deine Vorgehensweise etwas genauer erklàren?
> Habe die Zeichnungen selbst erstellt, nur wie ich von der
> Zeichnung zur Formel komme ist mir unklar.
mir auch 
ich kann dir nur meinen lösungsweg skizzieren:
[mm] d^2=x^2+y^2-2xy\cdot cos\theta
[/mm]
dreieck ABE: [mm] A_1=\frac{1}{2}xy\cdot sin\theta
[/mm]
dreieck EBC: [mm] A_2=\frac{1}{2}dy\cdot sin\beta_2
[/mm]
dreieck ABC: [mm] A_3=\frac{1}{2}xy\cdot sin\beta
[/mm]
[mm] sin\beta=sin(\beta_1+\beta_2)
[/mm]
die ausdrücke für [mm] \beta_1 [/mm] und [mm] \beta_2 [/mm] sind leicht zu finden
damit bekommt man die gewünschte flächenformel zu
[mm]A=2A_3-(A_1+A_2)[/mm]
und nach einiger rechnerei das obige wunschresultat
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> ich kann dir nur meinen lösungsweg skizzieren:
>
> [mm]d^2=x^2+y^2-2xy\cdot cos\theta[/mm]
>
> dreieck ABE: [mm]A_1=\frac{1}{2}xy\cdot cos\theta[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> dreieck EBC: [mm]A_2=\frac{1}{2}yd\cdot sin\beta_2[/mm]
>
> dreieck ABC: [mm]A_3=\frac{1}{2}xy\cdot sin\beta[/mm]
>
> [mm]sin\beta=sin(\beta_1+\beta_2)[/mm]
>
> die ausdrücke für [mm]\beta_1[/mm] und [mm]\beta_2[/mm] sind leicht zu
> finden
>
> damit bekommt man die gewünschte flächenformel zu
>
> [mm]A=2A_3-(A_1+A_2)[/mm]
>
> und nach einiger rechnerei das obige wunschresultat
... aber nur dann, wenn man noch den Fehler in der obigen
Formel für [mm] A_1 [/mm] korrigiert: dort müsste statt Cosinus der
Sinus stehen ...
LG Al
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Di 21.06.2011 | | Autor: | weduwe |
ja klar, das ist offensichtlich
trotzdem danke, ich werde es oben korrigieren, mit deiner erlaubnis
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Nachdem ich nun einen blöden Fehler in meiner Lösung
endlich gefunden habe, möchte ich hier den Lösungsweg
für alle Interessierten skizzieren.
Gemäß Zeichnung wird der Punkt E eingezeichnet, welcher
das Viereck ABCD in das Dreieck ABE, das gleichschenklige
Dreieck EBC und den Rhombus AECD zerlegt.
Der Einfachheit halber habe ich y:=1 gesetzt.
Der Winkel [mm] \angle{BAE} [/mm] ist gleich [mm] \theta [/mm] , ferner bezeichne ich
[mm] $\varepsilon:=\angle{AEB}\qquad \varphi:=\angle{BEC}\qquad \delta:=\angle{CEA}$
[/mm]
$\ [mm] z:=|\overline{EB}|$
[/mm]
$\ M:=$ Mittelpunkt von [mm] \overline{EB}
[/mm]
$\ [mm] h:=|\overline{MC}| [/mm] =$ Höhe des Dreiecks EBC
Dann ist:
1.) $\ [mm] F_{ABE}\ [/mm] =\ [mm] \frac{x*1}{2}*sin(\theta)$
[/mm]
2.) $\ z\ =\ [mm] \sqrt{x^2+1-2*x*cos(\theta)}$ [/mm]
3.) $\ [mm] sin(\varepsilon)\ [/mm] =\ [mm] \frac{x}{z}*sin(\theta)$
[/mm]
4.) $\ [mm] cos(\varepsilon)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1+z^2-x^2}{2\,z}$
[/mm]
5.) $\ [mm] sin(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{h}{1}\ [/mm] =\ h\ =\ [mm] \sqrt{1-\frac{z^2}{4}}$
[/mm]
6.) $\ [mm] cos(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{z}{2}$
[/mm]
7.) $\ [mm] sin(\delta)\ [/mm] =\ [mm] -sin(\varepsilon+\varphi)$
[/mm]
(mittels Additionstheorem aus 3.),4.),5.),6.) berechnen !)
8.) $\ [mm] F_{EBC}\ [/mm] =\ [mm] \frac{z*h}{2}$
[/mm]
9.) $\ [mm] F_{AECD}\ [/mm] =\ [mm] 1*1*sin(\delta)\ [/mm] =\ [mm] sin(\delta)$
[/mm]
10.) $\ [mm] F_{ABCD}\ [/mm] =\ [mm] F_{ABE}+ F_{EBC}+ F_{AECD}$
[/mm]
Beim Einsetzen ergibt sich zunächst ein umfangreicher
Term, der sich aber schließlich vereinfacht zu:
$\ [mm] F_{ABCD}\ [/mm] =\ [mm] \frac{x^2-1}{4}*\sqrt{\frac{4}{z^2}-1}\ [/mm] =\ [mm] \frac{x^2-1}{4}*\sqrt{\frac{4}{x^2+1-2*x*cos(\theta)}-1}$
[/mm]
LG und viel Spass beim Umformen !
Die Tatsache, dass sich der anfänglich komplizierte
Term so sehr vereinfacht, deutet wohl darauf hin,
dass es eine geometrisch einfachere Betrachtung
geben könnte, die einen kürzeren Weg zum Ziel
bringt.
Al
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