Beweis Folge konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Di 15.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Sei a [mm] \in \IR. [/mm] Von der Zahlenfolge [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] sei bekannt, dass jede der beiden Teilfolgen [mm] (x_{2k}) [/mm] und [mm] (x_{2k+1}) [/mm] gegen a konvergiert. Beweisen Sie, dass die gesamte Folge [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] gegen a konvergiert. |
Guten Morgen,
habe hier folgendes versucht:
[mm] \exists n^{'} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n^{'}: [/mm] | [mm] x_{2k} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \exists n^{''} \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge n^{''}: [/mm] | [mm] x_{2k+1} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wähle nun [mm] n_{0}:= [/mm] max [mm] \{n^{'}, n^{''}\}. [/mm] Dann gilt für alle n [mm] \ge n_{0}: [/mm] | [mm] x_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ist das so korrekt? Was lässt sich verbessern oder ist sogar komplett falsch?
LG Loriot95
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei a [mm]\in \IR.[/mm] Von der Zahlenfolge [mm](x_{n})_{n \in \IN}[/mm] sei
> bekannt, dass jede der beiden Teilfolgen [mm](x_{2k})[/mm] und
> [mm](x_{2k+1})[/mm] gegen a konvergiert. Beweisen Sie, dass die
> gesamte Folge [mm](x_{n})_{n \in \IN}[/mm] gegen a konvergiert.
> Guten Morgen,
>
> habe hier folgendes versucht:
Wieder hast Du die richtige Idee, aber wieder nicht korrekt formuliert.
> [mm]\exists n^{'} \in \IN \forall[/mm] n [mm]\ge n^{'}:[/mm] | [mm]x_{2k}[/mm] - a|
> < [mm]\varepsilon[/mm]
Das ist eigenlich Quark, denn in
[mm] | x_{2k} - a|< \varepsilon[/mm]
kommt kein n vor !!!
Korrekt: es ex. ein [mm] k_1 \in \IN [/mm] mit: [mm] | x_{2k} - a|< \varepsilon[/mm] für k [mm] \ge k_1
[/mm]
>
> [mm]\exists n^{''} \in \IN \forall[/mm] n [mm]\ge n^{'}:[/mm] | [mm]x_{2k+1}[/mm] -
> a| < [mm]\varepsilon[/mm]
Wieder Quark ( aus den gleichen Gründen wie oben)
Korrekt: es ex. ein $ [mm] k_2 \in \IN [/mm] $ mit: $ | [mm] x_{2k+1} [/mm] - a|< [mm] \varepsilon [/mm] $ für k $ [mm] \ge k_2 [/mm] $
>
> Wähle nun [mm]n_{0}:=[/mm] max [mm]\{n^{'}, n^{''}\}.[/mm]
Hier muß es dann so lauten:
Wähle nun [mm]n_{0}:=[/mm] max [mm]\{2k_1, 2k_2+1\}.[/mm]
> Dann gilt für
> alle n [mm]\ge n_{0}:[/mm] | [mm]x_{n}[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
so kommts dann hin.
FRED
>
> Ist das so korrekt? Was lässt sich verbessern oder ist
> sogar komplett falsch?
>
> LG Loriot95
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Di 15.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank.
|
|
|
|
