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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 So 05.08.2007 | | Autor: | XsunnyX |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle [mm] z_{1}, z_{2} \in\IC [/mm] gilt:
[mm] \left| z_{1} + z_{2} \right| \le \left| z_{1} \right| [/mm] + [mm] \left| z_{2} \right| [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
Ich habe mir dieser Aufgabe so meine Probleme. Irgendwie komme ich überhaupt nicht weiter. Ich habe mal beide Seiten der Ungleichung auf verschiedene Weisen aufgelöst:
[mm] \left| z_{1} + z_{2} \right| [/mm] = [mm] \left| x_{1} + iy_{1} + x_{2} + iy_{2} \right| [/mm] = [mm] \wurzel{(x_{1} + x_{2})² +(y_{1} + y_{2})² } [/mm] =
[mm] =\wurzel{{x_{1}}²+{y_{1}}² + {x_{2}}² + {y_{2}}² + 2x_{1}x_{2} + 2y_{1}y_{2}}
[/mm]
[mm] \left| z_{1} \right| [/mm] + [mm] \left| z_{2} \right|=
[/mm]
[mm] =\wurzel{{x_{1}}^2 + {y_{1}}^2}+ \wurzel{{x_{2}}^2 + {y_{2}}^2}
[/mm]
Dann hatte ich die Überlegung beide Seiten voneinander abzuziehen, um damit zu zeigen, dass ein Ergebnis größer als Null raus kommt. Dabei bin ich aber leider auch nicht weiter gekommen.
Deshalb habe ich eine zweite Auflösung der Beträge versucht:
[mm] \left| z_{1} + z_{2} \right| [/mm] = [mm] \wurzel{z_{1} + z_{2}} [/mm] * [mm] \wurzel{\overline {z_{1} } + \overline{z_{2}}} [/mm]
und
[mm] \left| z_{1} \right| [/mm] + [mm] \left| z_{2} \right| [/mm] = [mm] \wurzel{z_{1}}*\wurzel{\overline {z_{1}}} [/mm] + [mm] \wurzel{z_{2}}*\wurzel{\overline {z_{2}}}
[/mm]
Zwischenschritte habe ich bei den letzten beiden erstmal weggelassen, aber ich kann diese auf Nachfrage auch noch einfügen.
Allerdings hat mich diese Umformung nun auch nicht weitergebracht.
Vielleicht denke ich zu wenig komplex?
Würde mich auf ein paar Hinweise, so dass ich wieder auf den richtigen Weg zur Lösung gelange, sehr freuen.
Lg
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Hmm, vielleicht ist das wieder ein Schnellschuß, aber das hier sieht einfach aus:
[mm] |z_1|+|z_2|\ge|z_1+z_2|
[/mm]
Mach dir mal in der img. Zahlenebene klar, daß das ganze ja ein Dreieck beschreibt [mm] (z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] werden vektoriell aneinander gehhängt, der rechte Teil ist die Resultierende).
Jetzt kann man dafür den COS-satz anwenden [mm] ($c^2=a^2+b^2-ab\cos\gamma$)
[/mm]
[mm] |z_1|+|z_2|\ge\wurzel{|z_1|^2+|z_2|^2-2|z_1||z_2|\cos\gamma}
[/mm]
Durch Quadrieren ändert sich an der Relation der beiden Seiten nichts, macht aber die Wurzel weg. Wenn du dann noch bedenkst, daß der cos nur Werte von -1...+1 annimmt, bist du fertig.
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Hi,
also, nachdem ich jetzt hin und her überlegt hab ist jetzt da doch noch ein Fehler drin. Also: Linke Seite bedeutet, die Länge beider Vektoren zu addieren.
Rechte Seite bedeutet anschaulich, erst die beiden Vektoren zu addieren und dann die Länge des resultierenden Vektors.
Der Kosinussatz richtig angewendet müsste dann lauten
[mm] |z_1 [/mm] + [mm] z_2|^2 [/mm] = [mm] |z_1|^2 [/mm] + [mm] |z_2|^2 [/mm] - [mm] 2|z_1||z_2|cos\gamma. [/mm] Das lässt sich aber meiner Meinung nach nicht so einfach, wenn überhaupt, auf die gewünschte Form bringen.
Hab ma grad etwas nachgsucht, weil ich auch so auf Anhieb nicht drauf gekommen bin, wie man das zeigt.
Also der in meinen Augen einfachste Ansatz für den Beweis wäre wohl hier:
Für [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2 [/mm] = 0 ist die Aussage offensichtlich richtig.
Für [mm] z_1 [/mm] + [mm] z_2 \not= [/mm] 0 schreibe dann 1 = [mm] \frac{z_1}{z_1+z_2} [/mm] + [mm] \frac{z_2}{z_1+z_2}. [/mm] Anschließend berechnest du auf beiden Seiten den Realteil. Dann kannst du den Term gut abschätzen nach der Regel Re(z) [mm] \le [/mm] |z| und daraus dann folgern dass die Dreiecksungleichung gilt...
Viel Erfolg noch
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 So 05.08.2007 | | Autor: | XsunnyX |
Hi,
Danke schon mal für die Bemühungen.
Allerdings verstehe ich deinen Ansatz noch nicht so ganz. (vielleicht liegt das daran, dass ich noch kein Student, sonder noch vor meinem Erstsemester stehe?!)
Du nimmst doch die Gleichung: [mm] z_{1} [/mm] + [mm] z_{2} [/mm] = [mm] z_{1} [/mm] + [mm] z_{2} [/mm] und bringst dann die linke Seite rüber. Ich verstehe den Zusammenhang zu meiner obigen Ungleichung nicht ganz. Soll ich mit Hilfe dieser Gleichung eine ungefähre Angabe über die Länge (den Betrag) von den Vektoren addiert [mm] z_{1} [/mm] + [mm] z_{2} [/mm] machen? Wenn ich die Gleichung 1= [mm] \bruch{z_{1}}{z_{1}+z_{2}} [/mm] + [mm] \bruch{z_{2}}{z_{1}+z_{2}} [/mm] auflöse mit [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}, [/mm] bzw y.. dann fällt der Imaginärtteil doch völlig weg, aber was machen ich dann mit den Brüchen, soll ich diese differenziert voneinander betrachten? Denn wenn ich diese zusammenfasse, dann ist es ja logisch dass 1 rauskommen muss.
Ich glaube ich brauche noch etwas mehr Hilfe um den Weg zu verstehen.
Sorry 
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Hi,
kein Problem, dann rechne ich des mal vor:
also Re(z) ist zunächst mal allgemein der Realteil von z, also wenn z=x+iy dann ist Re(z)=x. Das bedeutet dann aber dass generell gilt [mm] Re(z)\le [/mm] |z|.
Ok, es gilt 1 = [mm] \frac{z_1}{z_1+z_2} [/mm] + [mm] \frac{z_2}{z_1+z_2} [/mm] für [mm] z_1+z_2 \not= [/mm] 0. Auf der linken wie auch auf der rechten Seite steht dann quasi das gleiche. Wir berechnen den Realteil und erhalten:
1 = Re [mm] \frac{z_1}{z_1+z_2} [/mm] + Re [mm] \frac{z_2}{z_1+z_2}, [/mm] denn Re(1) ist gleich 1. Jetzt also abschätzen:
Re [mm] \frac{z_1}{z_1+z_2} [/mm] + Re [mm] \frac{z_2}{z_1+z_2} \le |\frac{z_1}{z_1+z_2}| [/mm] + [mm] |\frac{z_2}{z_1+z_2}|. [/mm] Hier ging jetzt die Eigenschaft ein, dass stets Re(z) [mm] \le [/mm] |z| gilt für alle komplexen Zahlen z.
Der Term ist jetzt aber gleich [mm] \frac{|z_1|}{|z_1+z_2|} [/mm] + [mm] \frac{|z_2|}{|z_1+z_2|}
[/mm]
Betrachten wir das ganze nochmal im Zusammenhang:
1 = [mm] \frac{|z_1+z_2|}{|z_1+z_2|} \le \frac{|z_1|}{|z_1+z_2|} [/mm] + [mm] \frac{|z_2|}{|z_1+z_2|}. [/mm] Den Nenner können wir jetzt vernachlässigen, dann resultiert aber gerade die Dreiecksungleichung im Komplexen.
Ich hoffe mal, dass des jetzt relativ einleuchtend war
Gruß
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> Zeigen Sie, dass für alle [mm]z_{1}, z_{2} \in\IC[/mm] gilt:
> [mm]\left| z_{1} + z_{2} \right| \le \left| z_{1} \right|[/mm]
> + [mm]\left| z_{2} \right|[/mm]
> Hi,
> Ich habe mir dieser Aufgabe so meine Probleme. Irgendwie
> komme ich überhaupt nicht weiter.
Wie wärs zum Beispiel mit folgendem Gedanken: Es genügt zu zeigen, dass
[mm]|z_1+z_2|^2 \leq (|z_1|+|z_2|)^2[/mm]
Zu diesem Zweck könnte man folgende erste Schritte versuchen:
[mm]|z_1+z_2|^2 = (z_1+z_2)\cdot (\overline{z_1+z_2})=(z_1+z_2)\cdot (\overline{z}_1+\overline{z}_2) = |z_1|^2+|z_2|^2+z_1\overline{z}_2 + \overline{z}_1 z_2[/mm]
Damit wäre das verbleibende Problem zu zeigen, dass
[mm]z_1\overline{z}_2 + \overline{z}_1 z_2 = z_1\overline{z}_2 + \overline{z_1\overline{z}_2} = 2\cdot \Re(z_1\overline{z}_2) \leq 2|z_1|\cdot |z_2|[/mm]
gilt.
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