Beweis Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:28 So 15.11.2009 | | Autor: | together |
| Aufgabe | Benutzen Sie die Definition von Konvergenz, um zu zeigen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2^{-n}=0. [/mm] |
Hallo zusammen,
die Definition ist wie folgt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N_{\varepsilon} \in \IN: [/mm] n > [mm] N_{\varepsilon} \Rightarrow |x_{n}-y| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Hier mein Ansatz:
Es ist zu zeigen, dass für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein N [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] |2^{-n}-0| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>N_{\varepsilon}
[/mm]
[mm] |2^{-n}-0| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] |\bruch{n}{2}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] (da der Betrag immer posotiv ist, kann ich die Betragsstriche weglassen
[mm] \bruch{n}{2} <\varepsilon [/mm]
[mm] n<2\varepsilon [/mm]
Stimmt das so und reicht das schon?
VG
together
Ieh habe die Frage in keinen anderen Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 So 15.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Hier mein Ansatz:
> Es ist zu zeigen, dass für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] ein N [mm]\in \IN,[/mm]
> so dass [mm]|2^{-n}-0|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle
> [mm]n>N_{\varepsilon}[/mm]
>
> [mm]|2^{-n}-0|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]|\bruch{n}{2}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] (da der Betrag immer posotiv
> ist, kann ich die Betragsstriche weglassen
> [mm]\bruch{n}{2} <\varepsilon[/mm]
> [mm]n<2\varepsilon[/mm]
>
> Stimmt das so und reicht das schon?
weder noch 
Den Schritt
> $ [mm] |2^{-n}-0| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
> $ [mm] |\bruch{n}{2}| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
solltest doch noch einmal überdenken.
Es ist doch [mm] 2^{-n}=\bruch{1}{2^n}\not=\bruch{n}{2}.
[/mm]
Nehmen wir mal an (nur Angenommen!!!!!!!),
> [mm]\bruch{n}{2} <\varepsilon[/mm]
> [mm]n<2\varepsilon[/mm]
die beiden Schritte wären (!!!) korrekt. Dann wäre damit doch keine Konvergenz gezeigt, denn sonst gebe es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] (der Trick dabei ist ja eigentlich [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig klein wählen zu können), ein [mm] n\in\IN [/mm] für das gilt [mm] n>2\varepsilon.
[/mm]
Also, versuch's noch einmal... viel Erfolg.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 So 15.11.2009 | | Autor: | together |
>
> Es ist doch [mm] 2^{-n}=\bruch{1}{2^n}\not=\bruch{n}{2}.
[/mm]
>
Oh mann, klar!
Also dann
[mm] 2^{-n}<\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2^n}<\varepsilon
[/mm]
[mm] 1<\varepsilon{2^n}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\varepsilon}<{2^n}
[/mm]
So?
Und dann?
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Hallo,
du musst nun den Logarithmus zur Basis 2 anwenden, damit du n alleine stehen hast.
Gruß Patrick
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Also: (e=Epsilon)
[mm] \bruch{1}{e} [/mm] < [mm] 2^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ln [mm] \bruch{1}{e} [/mm] < n ln 2
[mm] \Rightarrow \bruch{ln \bruch{1}{e}}{ln 2} [/mm] < n
[mm] \Rightarrow log_{2} \bruch{1}{e} [/mm] < n
?? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also: (e=Epsilon)
>
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm] < [mm]2^{n}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] ln [mm]\bruch{1}{e}[/mm] < n ln 2
> [mm]\Rightarrow \bruch{ln \bruch{1}{e}}{ln 2}[/mm] < n
> [mm]\Rightarrow log_{2} \bruch{1}{e}[/mm] < n
>
> ?? :)
O.K.
FRED
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