Beweis:Konvergenz einer Folge? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich bin mir nicht sicher, wie man Konvergenz beweist.
Z.b [mm] a_{n}:= [/mm] 1- [mm] e^{-n}, [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}) [/mm] = 1
kann man das als beweis dafür verwenden , dass die Folge konvertiert und einen Grenzwert besitzt?
Oder muss man es anders beweisen?
Wenn ja,wie geht man dann vor?
Also wie beweist man Konvergenz?
Und wie bekommt man , nachdem die Konvergenz bewiesen ist, den grenzwert raus?(einfach so, wie ich das im obigen Beispiel gemacht hab)?
Danke im Voraus
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Hallo Roxas_Roxas und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Hallo
> Ich bin mir nicht sicher, wie man Konvergenz beweist.
> Z.b [mm]a_{n}:=[/mm] 1- [mm]e^{-n},[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n})[/mm] = 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> kann man das als beweis dafür verwenden , dass die Folge
> konvertiert
zum Islam? 
kovergiert!
> und einen Grenzwert besitzt?
> Oder muss man es anders beweisen?
> Wenn ja,wie geht man dann vor?
> Also wie beweist man Konvergenz?
> Und wie bekommt man , nachdem die Konvergenz bewiesen ist,
> den grenzwert raus?(einfach so, wie ich das im obigen
> Beispiel gemacht hab)?
Ja, wenn du die Grenzwertsätze benutzen darfst, dann geht das einfach so wie du's wohl gemacht hast:
[mm] $(1)_{n\in\IN}$ [/mm] strebt ersichtlich für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen 1 und [mm] $(e^{-n})_{n\in\IN}$ [/mm] gegen 0, damit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}(1-e^{-n})=1-0=1$
[/mm]
Anderenfalls gehe über die [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] und schätze [mm] $\left|1-e^{-n}-1\right|=\left|-\frac{1}{e^n}\right|=\frac{1}{e^n}$ [/mm] ab, um zu beliebig vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] zu konstruieren, so dass für alle [mm] $n>N(\varepsilon)$ [/mm] gilt [mm] $\left|\frac{1}{e^n}\right|<\varepsilon$
[/mm]
> Danke im Voraus
LG
schachuzipus
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Ok Vielen Dank.
D.h ich kann über die [mm] \varepsilon [/mm] Definition für den Grenzwert a meine vermutung, also 0, einsetzen und dann [mm] N(\varepsilon) [/mm] zu konstruieren?
und dann geht das genauso?
Also ist die [mm] \varepsilon [/mm] - Defintion äquivalent zur limes-Definition?
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Hallo nochmal,
> Ok Vielen Dank.
> D.h ich kann über die [mm]\varepsilon[/mm] Definition für den
> Grenzwert a meine vermutung, also 0,
Das muss 1 sein, ich hatte mich oben verschrieben und erst eben editiert!
Schaue nochmal oben nach!
> einsetzen und dann
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] zu konstruieren?
> und dann geht das genauso?
Ja!
>
> Also ist die [mm]\varepsilon[/mm] - Defintion äquivalent zur
> limes-Definition?
?? Das ist doch gemeinhin die Grenzwertdefinition für Folgen.
Wie habt ihr denn Konvergenz einer Folge definiert?
LG
schachuzipus
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