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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Di 09.11.2004 | | Autor: | Ursus |
Hallo Leute!
Ich soll folgende Aufgabe beweisen:
A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = A
Wie soll ich das beweisen? Mir ist schon klar, wenn ichs mir in einem Venn-Diagramm vorstelle, dass es stimmt.
Vielen Dank für eure Hilfe!
mfg ursus
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Ein formalistischer Beweis hängt von den gegebenen Definitionen
für Teilmengen usw. ab. Im Prinzip kann man beide Richtungen durch
Widerspruch beweisen, z.B.:
1. [mm] \Rightarrow [/mm] :
Sei A [mm] \subseteq [/mm] B. Dann gilt
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] B.
Sei nun A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= [/mm] A. Dann gilt:
[mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] A : y [mm] \not\in [/mm] A [mm] \vee [/mm] y [mm] \not\in [/mm] B [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] A : y [mm] \not\in [/mm] B. Widerspruch.
2. [mm] \Leftarrow [/mm] :
Sei A [mm] \cap [/mm] B = A. Dann gilt
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B.
Sei A keine Teilmenge von B (dafür hab ich hier kein Symbol gefunden).
Dann gilt :
[mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \not\in [/mm] B. Widerspruch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Di 09.11.2004 | | Autor: | Ursus |
Vielen Dank für die Hilfe! Jetzt ist mir einiges klarer.
Mfg ursus
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