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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mi 21.06.2006 | | Autor: | LenaFre |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für die Normen [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] , [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} [/mm] auf [mm] M_{n}(\IR) [/mm] gilt: [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}\parallel [/mm] A [mm] \parallel_2 \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2 [/mm] für alle A [mm] \inM_{n}(\IR) [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich weiß, dass [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel=sup_{v\not=0} \bruch{\parallel Av \parallel}{\parallel v \parallel} [/mm] und [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2=\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}|a_ij|^{2}} [/mm] ist.
Wenn ich das jetzt so weit in die Gleichung einsetzte komme ich aber nicht weiter. Das der erste Teil kleiner oder gleich dem letzten ist sieht man ja, da [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}\le1. [/mm] Aber weiter weiß ich noch nicht; ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
Danke Gruß Lena
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Hallo Lenafree,
Mein Tipp wäre für A die Singulärwertzerlegung( [mm]A=V^T\Sigma U[/mm] , [mm] U^TU=I=V^TV[/mm] [mm] ,\Sigma [/mm] ist eine Diagonalmatrix ) einzusetzen zu zeigen das
[mm] ||A||=||\Sigma|| [/mm] und [mm] ||A||_2=||\Sigma||_2
[/mm]
oder hattet Ihr das vllt. sogar in der Vorlesung?
Ich nehme mal an das ||*|| die Spektralnorm sein soll also die der euklidischen Vektornorm(2er Norm) zugeordnete Matrixnorm oder?
viele grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mi 21.06.2006 | | Autor: | LenaFre |
Ich glaub wir hatten das schon. Aber ich verstehe deinen Ansatz nicht richtig, wie muss ich das denn jetzt einsetzten und wie zeige ich die Ungleichheiten also [mm] \le [/mm] ?
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Hallo LenaFree,
Na dann mußt Du Dir "nur noch" überlegen:
1 .wie die Frobeniusnorm einer Diagonalmatrix aussieht.
2. wie die Spektralnorm einer Diagonalmatrix aussieht.
3. wie man das wohl abschätzen könnte
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo LenaFre !!!
Es gilt für die Maximums-, die Euklidische und für die Eins-Norm:
Sei [mm]x\in \IR^n[/mm]
[mm]\parallel x\parallel_{1}:=max\{|x_{i}|,i=1,...,n\}[/mm] (Einsnorm)
[mm]\parallel x\parallel_{2}:=\wurzel{ \summe_{i=1}^{n}x_i^2}[/mm] (Euklidische Norm)
[mm]\parallel x\parallel_{\infty}:= \summe_{i=1}^{n}|x_i|[/mm] (Maximumsnorm)
(Wobei du für [mm]x[/mm] auch eine Matrix [mm]A[/mm] einsetzen darfst, du musst dann aber die Indizes verändern.)
Daraus folgt schon mal, dass [mm]\parallel x\parallel_{1} \le \parallel x\parallel_{\infty}[/mm]
Benutze einfach die Definitionen und du kannst das dann zeigen.
Gruß Mark
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Hallo Mark,
> [mm]\parallel x\parallel_{1}:=max\{|x_{i}|,i=1,...,n\}[/mm]
> (Einsnorm)
> [mm]\parallel x\parallel_{2}:=\wurzel{ \summe_{i=1}^{n}x_i^2}[/mm]
> (Euklidische Norm)
> [mm]\parallel x\parallel_{\infty}:= \summe_{i=1}^{n}|x_i|[/mm]
> (Maximumsnorm)
Die [mm] ||*||_1 [/mm] meint i.d.R. die Betragssummennorm die bei Dir bei [mm] ||*||_{\infty} [/mm] steht und umgekehrt.
> (Wobei du für [mm]x[/mm] auch eine Matrix [mm]A[/mm] einsetzen darfst, du
> musst dann aber die Indizes verändern.)
Hat aber nix mit der Spektralnorm zu tun. Wenn Du in diese Normen eine Matrix einsetzt (und über i,j laufen lässt) bekommst Du imho nirgends ein [mm] \wurzel{n} [/mm] hin.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Mathmark |
Hallo
Also sorry erstmal wegen der Verwechslung.
Aber was ist die Spektralnorm ?
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)#Matrixnormen