Beweis Teilbarkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Beweisen Sie für alle 1<=k<=n-1 die Implikation
ggT(n,k)=1 -> n| [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
Gilt auch die Umkehrung dieser Aussage?
Hinweis: Beachten Sie auch die Beziehung [mm] k*(\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] n*\vektor{n-1 \\ k-1} [/mm]
Bemerkung: Insbesondere gilt dann auch für p prim: [mm] p|\vektor{p \\ k} [/mm] für alle 1<=k<=p-1 |
Also ich habe folgende Lösung zu der Aufgabe gefunden, wobei ich die Schlussfolgerung noch nicht ganz nachvollziehen kann. Könnte mir das jemand erklären, bzw. sagen ob das überhaupt so stimmt?
Aus [mm] k*(\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] n*\vektor{n-1 \\ k-1}folgt:\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n}{k} [/mm] * [mm] \vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
Setze: [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] =z1 und [mm] \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] =z2 ,z1,2 [mm] \in [/mm] Z
Hieraus folgt: z1= [mm] \bruch{n}{k} [/mm] *z2 ,bzw. k*z1=n*z2
Da n und k teilerfremd sind muss n die Zahl z1 teilen. Somit ist die Behauptung bewiesen.
Meine Frage ist jetzt, warum folgt das daraus, dass n die Zahl z1 teilen muss?
Und wie setzte ich bei der 2. Frage an (ob auch die Umkehrung dieser Aussage gilt)?
Vielen Dank schonmal.
Gruß
Andy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Di 29.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Beweisen Sie für alle 1<=k<=n-1 die Implikation
>
> ggT(n,k)=1 -> n| [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> Gilt auch die Umkehrung dieser Aussage?
>
> Hinweis: Beachten Sie auch die Beziehung [mm]k*(\vektor{n \\ k}[/mm]
> = [mm]n*\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
> Bemerkung: Insbesondere gilt dann auch für p prim:
> [mm]p|\vektor{p \\ k}[/mm] für alle 1<=k<=p-1
> Also ich habe folgende Lösung zu der Aufgabe gefunden,
> wobei ich die Schlussfolgerung noch nicht ganz
> nachvollziehen kann. Könnte mir das jemand erklären, bzw.
> sagen ob das überhaupt so stimmt?
>
> Aus [mm]k*(\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]n*\vektor{n-1 \\ k-1}folgt:\vektor{n \\ k}[/mm]
> = [mm]\bruch{n}{k}[/mm] * [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm]
>
> Setze: [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] =z1 und [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] =z2
> ,z1,2 [mm]\in[/mm] Z
>
> Hieraus folgt: z1= [mm]\bruch{n}{k}[/mm] *z2 ,bzw. k*z1=n*z2
>
> Da n und k teilerfremd sind muss n die Zahl z1 teilen.
> Somit ist die Behauptung bewiesen.
>
> Meine Frage ist jetzt, warum folgt das daraus, dass n die
> Zahl z1 teilen muss?
Naja, es ist ein Brauch von alters her: Gilt $a|bc$ und sind $a$ und $b$ teilerfremd, so folgt $a|c$. Versuche Dir das klarzumachen, notfalls mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.
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> Und wie setzte ich bei der 2. Frage an (ob auch die
> Umkehrung dieser Aussage gilt)?
>
> Vielen Dank schonmal.
>
> Gruß
>
> Andy
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:57 Di 29.11.2011 | | Autor: | Catman |
Vielen Dank für die Antwort. Und wie ist das mit der Umkehrung der Behauptung?
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> Vielen Dank für die Antwort. Und wie ist das mit der
> Umkehrung der Behauptung?
Hallo,
die Antwort sollst eigentlich Du geben.
Was hast Du denn bisher herausgefunden?
Für welche n und k hast Du es bisher probiert?
Möchtest Du beweisen oder widerlegen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 29.11.2011 | | Autor: | Catman |
Ich habe durch ausprobieren jetzt ein Gegenbeispiel gefunden. (n=10 und k=4) Somit gilt die Umkehrung ja nicht, aber gibt es auch einen Weg schneller zu dieser Annahme zu kommen? (In der Matheklausur wäre es ja unvorteilhaft wenn ich allzuviele Zahlen ausprobieren müsste)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Do 01.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe durch ausprobieren jetzt ein Gegenbeispiel
> gefunden. (n=10 und k=4) Somit gilt die Umkehrung ja nicht,
> aber gibt es auch einen Weg schneller zu dieser Annahme zu
> kommen? (In der Matheklausur wäre es ja unvorteilhaft wenn
> ich allzuviele Zahlen ausprobieren müsste)
Durchprobieren ist schon das schnellste, glaube ich. Wobei du das moeglichst einfach machen solltest: dazu erstellst du das Pascalsche Dreieck und haengst immer eine Zeile unten an, schaust dann ob diese Zeile ein Gegenbeispiel liefert, und wenn nicht machst du noch eine Zeile etc.
Da eine Zeile hinzufuegen nur aus Additionen besteht, ist das recht fix. (Beachte auch, dass das Pascalsche Dreieck symmetrisch ist, das halbiert fast die Anzahl der benoetigten Additionen :) )
Alternativ kannst du auch $n$ und $k$ von einfacher Form betrachten ($n = p$ geht nicht, $n = [mm] p^2$ [/mm] ebenso nicht, $n = [mm] p^3$ [/mm] mit $k = [mm] p^2$ [/mm] koennte gehen fuer $p$ gross genug, ansonsten $n = p q$ mit $p < q$ prim, ...). Dann rechnest du weniger mit konkreten Zahlen, dafuer musst du mehr nachdenken. Ob das schneller geht als einfach schnell mit dem Pascalschen Dreieck zu suchen ist eine gute Frage...
In einer Klausur wird zumindest keine solche Frage kommen, wo man zuviel rechnen muss. Sollte zumindest nicht 
LG Felix
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