Beweis Teilbarkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] und a,b [mm] \in \IZ [/mm] gilt [mm] a-b|a^{n}-b^{n} [/mm] |
Hallo zusammen,
Also um ehrlich zu sein bin ich mit der Aufgabe bisher nicht sehr weit gekommen und würde mich sehr über einen Tipp freuen.
Ich dachte zunächst daran das mit einer Induktion zu beweisen.
Also wie folgt:
Ind. Anfang: n=0 -> a-b|0 und das ist wahr
Ind. Vor.: für ein beliebiges aber festes n [mm] \in \IN [/mm] gelte [mm] a-b|a^{n}-b^{n}
[/mm]
so ist zu zeigen das auch
Ind. Beh.: [mm] a-b|a^{n+1}-b^{n+1} [/mm] gilt.
Jetzt muss ich ja irgendwie [mm] a^{n}a-b^{n}*b [/mm] so umformen, dass [mm] a^{n}-b^{n} [/mm] isoliert da steht, oder? Aber ich komme einfach nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Catman!
Zum einen würde ich mal stark anzweifeln, dass 0 überhaupt jemandes Teiler ist.
Soll heißen: der Induktionsbeginn kann "erst" mit $n \ = \ 1$ starten.
Zudem lässt sich mittels  Polynomdivision zeigen:
[mm] $a^n-b^n [/mm] \ = \ [mm] (a-b)*\left( \ ... \ \right)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Catman |
Danke für die Antwort. Aber gilt nicht a-b|0, da 0*(a-b)=0 ?
Es ist ja nicht 0|a-b, oder sehe ich da was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:54 Do 17.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Catman!
> Danke für die Antwort. Aber gilt nicht a-b|0, da 0*(a-b)=0
> ?
Ja.
Dein Induktionsanfang war völlig korrekt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Catman |
Könntest du das mit der Polynomdivision genauer erläutern? Also ich kenne das nur vom Lösen von Gleichungen dritten Grades. Der Text den du verlinkt hast zeigt auch nur das Lösen von Gleichungen. Wie gehe ich denn vor um [mm] a^{n}-b^{n} [/mm] umzuformen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Catman!
Die Polynomdivision ist unabhängig von Gleichungen.
Beginne doch mal mit dem Rechnen:
[mm] $\left(a^n-b^n\right):(a-b) [/mm] \ = \ ...$
Bedenke hierbei auch den ![[]](/images/popup.gif) Binomischen Lehrsatz.
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:29 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Catman |
Danke für die Antwort.
> Bedenke hierbei auch den
> Binomischen Lehrsatz.
>
Kannst du mir eventuell noch den Tipp geben wie ich den binomischen Lehrsatz da anwende? Ich stehe irgendwie total auf dem Schlauch....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 18.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Hallo Catman!
>
>
> Zum einen würde ich mal stark anzweifeln, dass 0
> überhaupt jemandes Teiler ist.
> Soll heißen: der Induktionsbeginn kann "erst" mit [mm]n \ = \ 1[/mm]
> starten.
Hallo Loddar,
es ging aber genau genommen gar nicht darum, dass
Null ein Teiler von irgendwas sei, sondern darum, dass
(a-b) stets ein Teiler von 0 sei.
Dies stimmt, denn jede ganze Zahl ist ein Teiler von 0
(siehe Teilbarkeit)
Mit dem Thema der "Nullteiler" in algebraischen Ringen
hat dies eigentlich auch nichts zu tun. In [mm] \IZ [/mm] gibt es
keine Nullteiler, d.h. keine Paare (a,b) mit [mm] a\not=0 [/mm] und [mm] b\not=0
[/mm]
und $\ a*b=0$
> Zudem lässt sich mittels Polynomdivision zeigen:
>
> [mm]a^n-b^n \ = \ (a-b)*\left( \ ... \ \right)[/mm]
Da wäre natürlich darauf hinzuweisen, dass diese Formel
sich für beliebige [mm] n\in\IN [/mm] auch nur mit Mitteln beweisen
lässt, welche der vollständigen Induktion ebenbürtig
sind ...
Schönen Gruß ! Al
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Do 17.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie: Für alle n [mm]\in \IN[/mm] und a,b [mm]\in \IZ[/mm] gilt
> [mm]a-b|a^{n}-b^{n}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> Also um ehrlich zu sein bin ich mit der Aufgabe bisher
> nicht sehr weit gekommen und würde mich sehr über einen
> Tipp freuen.
> Ich dachte zunächst daran das mit einer Induktion zu
> beweisen.
> Also wie folgt:
>
> Ind. Anfang: n=0 -> a-b|0 und das ist wahr
> Ind. Vor.: für ein beliebiges aber festes n [mm]\in \IN[/mm] gelte
> [mm]a-b|a^{n}-b^{n}[/mm]
> so ist zu zeigen das auch
> Ind. Beh.: [mm]a-b|a^{n+1}-b^{n+1}[/mm] gilt.
>
> Jetzt muss ich ja irgendwie [mm]a^{n}a-b^{n}*b[/mm] so umformen,
> dass [mm]a^{n}-b^{n}[/mm] isoliert da steht, oder? Aber ich komme
> einfach nicht weiter.
Da hilft ein "Trick":
[mm] a^{n+1}-b^{n+1}= a^{n+1}-a^nb+a^nb- b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n)
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Do 17.10.2013 | | Autor: | Catman |
Vielen Dank!
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