Beweis Teilbarkeit durch 8 < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 Di 02.10.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
wie beweist man, dass jeder Ausdruck:
((2n+1)^(2m+1))-(2n+1) restlos teilbar durch 8 ist? n und m natürliche Zahlen.
[mm] Beispiel:3^7-3=2184 [/mm] =>/8=273
[mm] 5^9-5=1953120 [/mm] =>/8=244140
3^11-3=177144 =>/8=22143
Mein Ansatz? Bis jetzt keinen.
Gruß, Ferma
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Hallo Ferma,
> wie beweist man, dass jeder Ausdruck:
> ((2n+1)^(2m+1))-(2n+1) restlos teilbar durch 8 ist? n und m
> natürliche Zahlen.
> [mm]Beispiel:3^7-3=2184[/mm] =>/8=273
> [mm]5^9-5=1953120[/mm] =>/8=244140
> 3^11-3=177144 =>/8=22143
[mm] (2n+1)^{2m+1}-(2n+1)=(2n+1)*((2n+1)^{2m}-1)
[/mm]
Da (2n+1) sicher nicht durch 2 teilbar ist, brauchst Du also nur noch zu zeigen:
[mm] (2n+1)^{2m}=(4n(n+1)+1)^m\equiv 1\mod{8}
[/mm]
> Mein Ansatz? Bis jetzt keinen.
Na, den Rest solltest Du jetzt aber schaffen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:56 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo referend,
n(n+1) ist durch 2 teilbar und [mm] 4=2^2. [/mm] Also ist der Faktor [mm] 2^3 [/mm] im Ausdruck enthalten.
Danke für die Hilfe!
Gruß
Ferma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:18 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> wie beweist man, dass jeder Ausdruck:
> ((2n+1)^(2m+1))-(2n+1) restlos teilbar durch 8 ist? n und m
man sieht sogar folgendes:
[mm] $$(2n+1)^{2m+1}-(2n+1)=(2n+1)*((2n+1)^{2m}-1)$$
[/mm]
und es ist
[mm] $$(2n+1)^{2m}-1=((2n+1)^2)^m-1=(4n^2+4n+1)^m-1=4*\sum_{k=0}^m [/mm] {m [mm] \choose k}(n(n+1))^{k}*1^{m-k}-1=4*\sum_{k=1}^m [/mm] {m [mm] \choose k}n^k (n+1)^{k} \,.$$
[/mm]
Übrigens hätte man hier auch eine Indutkion mal probieren können (ohne es selbst
gerechnet zu haben - daher kann ich Dir auch nicht sagen, wie aufwendig das wird):
Dazu zeigt man, dass die Behauptung für die kleinsten natürlichen [mm] $m,n\,$ [/mm] gilt (das
formuliere ich nur deshalb so, weil ich nicht weiß, ob bei Euch [mm] $0\,$ [/mm] eine natürliche
Zahl ist, oder nicht).
Danach macht man ZWEI Induktionsschritte:
Man nimmt an, dass die Behauptung also für ein Paar $(m,n)$ zweier natürlicher
Zahlen gilt und zeigt
1.) Man hält $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest und macht dann einen Induktionsschritt $m [mm] \to m+1\,.$
[/mm]
2.) Man hält $m [mm] \in \IN$ [/mm] fest und macht dann einen Induktionsschritt $n [mm] \to n+1\,.$
[/mm]
Nur, damit Du weißt, dass es hier auch andere Wege gibt, die zum Ziel führen.
P.S.
Mach' Dir klar, wieso dieser "Induktionsbeweis über die zwei natürlichen Zahlen"
funktioniert - sofern ihr das noch nicht hattet oder Du es nicht mehr einsiehst! Im
Prinzip ist das einfach: Man schreibt sich etwa, wenn $0 [mm] \notin \IN\,,$ [/mm] auf, dass man
den [mm] $\IN^2$ [/mm] aufzählen kann mit folgendem Schema
[mm] $$\begin{matrix}(1,1) & (1,2) & (1,3) & ...\\(2,1) & (2,2) & (2,3) & ...\\(3,1) & (3,2) & (3,3) & ...\\ .... & ... & ... & ...\end{matrix}$$
[/mm]
und macht sich klar, dass, bzw. wieso, man so jede Zahl des [mm] $\IN^2$ [/mm] erfasst. Dann
überlegt man sich, was der Induktionsschritt $m [mm] \to [/mm] m+1$ diesbezüglich etwa bedeutet,
und was der Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+1$ bedeutet.
Grob gesagt: Wenn ich in das Matrixschema von oben gehe und annehme, dass ich
an der Stelle [mm] $(m,n)\,$ [/mm] eine Aussage $A=A(m,n)$ bewerte, und nehmen wir an, dass
wir wüßten, dass [mm] $A(m_0,n_0)$ [/mm] wahr ist: Wenn der Induktionsschritt $m [mm] \to m+1\,$
[/mm]
gelingt, bedeutet dass, dass ich erkenne, dass alle Aussagen in der Spalte [mm] $n_0\,,$
[/mm]
unterhalb von [mm] $m_0\,,$ [/mm] auch gelten. Analog zeigt der Induktionsschritt $n [mm] \to n+1\,,$
[/mm]
dass in der Zeile [mm] $m_0$ [/mm] alle Aussagen rechts von [mm] $n_0$ [/mm] gelten. Und wenn ich mich
nun irgendwo rechts unterhalb von [mm] $(m_0,n_0)$ [/mm] befinde, dann komme ich dahin, wenn
ich etwa erstmal [mm] $m_0$ [/mm] festhalte und mich in die entsprechende Spalte bewege -
diese Aussage ist dann ja auch wahr (wegen Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+1$), also kann
ich das alte [mm] $n_0\,$ [/mm] durch den entsprechenden Spaltenindex ersetzen, und dann gehe
ich von dort aus nach unten zu der entsprechenden Stelle.Natürlich könntest Du auch
zuerst nach unten und dann nach rechts gehen...
Gruß,
Marcel
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