Beweis Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 So 15.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Hallo,
hoffentlich kann mir jemand bzgl. einer Aufgabenstellung helfen:
Es sei [mm] \lambda={1,2,...100} [/mm] (Lambda steht für die Ergebnismenge), [mm] \mathcal{A}^{\lambda} [/mm] und P(A)= #A/100 für A [mm] \in \mathcal{A}^{\lambda}.
[/mm]
(#A bezeichne die Anzahl der Elemente von A). Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) Es gibt drei Ereignisse A,B,C mit P(A)=P(B)=P(C)=0.9 und P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C)=0.7
Ich denke mal, dass ich das mit der Siebformel irgendwie beweisen muss, oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 So 15.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo aaaa1,
> Es sei [mm]\lambda={1,2,...100}[/mm] (Lambda steht für die
> Ergebnismenge), [mm]\mathcal{A}^{\lambda}[/mm] und P(A)= #A/100 für
> A [mm]\in \mathcal{A}^{\lambda}.[/mm]
> (#A bezeichne die Anzahl der
> Elemente von A).
Mit [mm] $\mathcal{A}^{\lambda}$ [/mm] meinst du wohl [mm] $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\lambda)$.
[/mm]
> Beweisen Sie folgende Aussagen:
>
> a) Es gibt drei Ereignisse A,B,C mit P(A)=P(B)=P(C)=0.9 und
> P(A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C)=0.7
>
> Ich denke mal, dass ich das mit der Siebformel irgendwie
> beweisen muss, oder ?
Die brauchst du hier nicht.
Beim Übergang zu Komplementen wird aus dem Schnitt eine Vereinigung. Ich denke anhand dessen kann man leichter auf eine Idee für passende A,B,C kommen.
Es soll also
[mm] $\bruch{\#A^c}{100}=P(A^c)=1-P(A)=1-0,9=0,1$ [/mm] (analog auch für B und C)
sowie
[mm] $\bruch{\#(A^c\cup B^c\cup C^c)}{100}=P(A^c\cup B^c\cup C^c)=P((A\cap B\cap C)^c)=1-P(A\cap B\cap [/mm] C)=1-0,7=0,3$
gelten.
Gesucht sind also [mm] $A,B,C\subseteq\{1,\ldots,100\}$ [/mm] mit
[mm] $\#A^c=\#B^c=\#C^c=10$ [/mm] und [mm] $\#(A^c\cup B^c\cup C^c)=30$.
[/mm]
Hast du eine Idee, wie man [mm] $A^c,B^c,C^c$ [/mm] (und somit $A,B,C$) wählen könnte?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 15.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Sry in der Aufgabe steht [mm] \mathcal{A}= 2^{\lambda} [/mm] und A [mm] \in 2^{\lambda} [/mm]
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Deine Bezeichnungen sind recht wirr. Aber darum geht es nicht. Schau dir lieber das Bild an.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 15.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Du hast doch das Ergebnis dann schon hingeschrieben
A=B=C= 10 , da die Vereinigung 30 ist, oder nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 15.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Ich schrieb:
> Gesucht sind also [mm] $A,B,C\subseteq\{1,\ldots,100\}$ [/mm] mit
>
> [mm] $\#A^c=\#B^c=\#C^c=10$ [/mm] und [mm] $\#(A^c\cup B^c\cup C^c)=30$. [/mm]
>
> Hast du eine Idee, wie man [mm] $A^c,B^c,C^c$ [/mm] (und somit $A,B,C$) wählen könnte?
> Du hast doch das Ergebnis dann schon hingeschrieben
> A=B=C= 10 , da die Vereinigung 30 ist, oder nicht
Die ANZAHL DER ELEMENTE von [mm] $A^c$, $B^c$ [/mm] und [mm] $C^c$ [/mm] soll jeweils 10 sein, nicht [mm] $A^c,B^c,C^c$ [/mm] selbst.
$A,B$ und $C$ (und damit auch [mm] $A^c,B^c$ [/mm] und [mm] $C^c$) [/mm] sollen Ereignisse sein, also Teilmengen von [mm] $\lambda=\{1,\ldots,100\}$, [/mm] nicht Elemente von [mm] $\lambda$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 So 15.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Ehrlich gesagt, versteh ich die ganze Aufgabe nicht.
Es steht man soll die Aussage beweisen, wobei ich nicht versteh was daran bewiesen werden soll.
Ich weiß, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] eine Teilmenge ist, d.h. dann dass wir 100 Ereignisse haben können, oder ?
Ich blick wirklich nicht durch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 15.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ehrlich gesagt, versteh ich die ganze Aufgabe nicht.
Schreib das bitte beim nächsten Mal direkt bei der ersten Frage. Solange eine Aufgabenstellung unklar ist, macht es natürlich wenig Sinn, sich über eine Lösung Gedanken zu machen.
> Ich weiß, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] eine Teilmenge ist,
Nein, [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] wird nicht als Teilmenge irgendeiner Menge betrachtet. [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist hier die Potenzmenge von [mm] $\lambda$ [/mm] und enthält somit genau die Teilmengen von [mm] $\lambda$ [/mm] als Elemente. Ein Beispiel für ein Element von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] wäre
[mm] $A=\{1,5,27,50,83,99\}$,
[/mm]
denn [mm] $\{1,5,27,50,83,99\}\subseteq\{1,\ldots,100\}=\lambda$.
[/mm]
> d.h. dann dass wir 100 Ereignisse haben können, oder ?
Ereignisse sind gerade die Elemente von [mm] $\mathcal{A}$, [/mm] also hier die Teilmengen von [mm] $\lambda$. [/mm] Die gerade von mir angegebene Menge $A$ ist also ein Beispiel für ein Ereignis. (Es gibt hier [mm] $2^{100}$ [/mm] Ereignisse.)
Es gilt für obiges $A$
[mm] $P(A)=\bruch{\#A}{100}=\bruch6{100}$
[/mm]
> Es steht man soll die Aussage beweisen, wobei ich nicht
> versteh was daran bewiesen werden soll.
Ich habe dir gerade vorgerechnet, dass das von mir angegebene Ereignis $A$ Wahrscheinlichkeit [mm] $P(A)=\bruch6{100}$ [/mm] hat. Jetzt kann man sich fragen: Gibt es auch ein Ereignis $B$ mit Wahrscheinkeit $P(B)=0,9$? (Schon dass ist ja ersteinmal überhaupt nicht klar.) Wenn ja: Kann man sogar drei Ereignisse $A,B,C$ von Wahrscheinlichkeit $0,9$ wählen, so dass zusätzlich [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C)=0,7$ gilt?
Bitte nimm dir etwas Zeit, meinen Beitrag zu studieren und frage dann genau nach, wenn etwas unklar ist.
Danach könnte es eine sinnvolle Vorübung sein, zunächst ein Beispiel für ein Ereignis $B$ mit Wahrscheinlichkeit $P(B)=0,9$ zu finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 15.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Okay, jetz ist mir die Aufgabe schon etwas klarer.
Damit wir für B eine Wahrscheinlichkeit von 0,9 erhalten müsste B ja 90 Elemente enthalten, stimmts?
Jetzt muss aber A=B=C der gleichen Wahrscheinlichkeit entsprechen und ihr Durchschnitt 0,7.
Das habe ich verstanden, aber ich weiß nicht wie ich A,B,C ermitteln könnte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 So 15.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Damit wir für B eine Wahrscheinlichkeit von 0,9 erhalten
> müsste B ja 90 Elemente enthalten, stimmts?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt muss aber A=B=C der gleichen Wahrscheinlichkeit
> entsprechen und ihr Durchschnitt 0,7.
Es muss nicht A=B=C gelten, sondern nur P(A)=P(B)=P(C)=0,9.
> Das habe ich verstanden, aber ich weiß nicht wie ich A,B,C
> ermitteln könnte
Ich schlage vor, dass wir meinen ursprünglichen Ansatz vergessen und uns auf Leopolds Ansatz einigen. Hast du auch diesen Beitrag von ihm von studiert? Spiele einmal mit verschiedenen 90-elementigen Teilmengen von [mm] $\lambda$ [/mm] herum: Wie viele Elemente hat jeweils [mm] $A\cap B\cap [/mm] C$ (gewünscht wären: 70)? (Poste am besten deine Ergebnisse.)
Wenn du das getan hast, wirst du feststellen, dass die Schwierigkeit darin besteht, [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C)$ klein genug zu kriegen. Suche $A,B,C$ also so, dass möglichst viele Elemente (idealerweise: 30 Elemente von [mm] \lambda) [/mm] NICHT in [mm] $A\cap B\cap [/mm] C$ liegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 So 15.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Ich will Sie wirklich nicht wahnsinnig machen, aber ich sitz hier und kreige es nicht kleiner 80, wenigstens habe ich die Aufgabe verstanden, was solls ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 So 15.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich will Sie wirklich nicht wahnsinnig machen,
Du kannst ruhig alle hier duzen.
> aber ich
> sitz hier und kreige es nicht kleiner 80, wenigstens habe
> ich die Aufgabe verstanden, was solls ..
Das ist doch schon mal ein großer Fortschritt! Ich glaube, das ist für das weitere Lernen wichtiger als die Lösung.
Vermutlich hast du ausschließlich Mengen betrachtet, die aus 90 aufeinanderfolgenden Zahlen bestehen.
Starten wir z.B. mal mit
[mm] $A=\{1,2,\ldots,90\}$.
[/mm]
Die Elemente von 91 bis 100 können wir nun problemlos in B und C aufnehmen, da sie bei dieser Wahl von A sowieso nicht im Schnitt [mm] $A\cap B\cap [/mm] C$ sind.
Nehmen wir z.B.
[mm] $B=\{1,2,\ldots79,80,91,92,\ldots,100\}$.
[/mm]
Auch die Werte von 81 bis 90 werden somit nicht im Schnitt sein. Also ist es sinnvoll, die Werte 81 bis 100 in $C$ aufzunehmen.
Kommst du damit weiter?
P.S.: Ich muss zugeben, dass ich mich bei dieser Vorgehensweise auch schwer getan hätte. Letztlich hatte ich immer meinen Ansatz mit den Komplementen im Hinterkopf. Vielleicht kann ja noch jemand anderes ergänzen, wie er/sie auf eine Lösung gekommen ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 15.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Ich habs versucht:
C={1,2,...,69,70,81,82,...,100}
daraus würde doch folgen:
A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C ={1,2,3..,70}
womit unsere 2. Bedingung dann auch erfüllt wäre.
So richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 So 15.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habs versucht:
>
> C={1,2,...,69,70,81,82,...,100}
>
>
> daraus würde doch folgen:
>
> A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C ={1,2,3..,70}
>
> womit unsere 2. Bedingung dann auch erfüllt wäre.
>
> So richtig?
Ja!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 15.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Oh, toll!
Jetzt gibt es noch einen zweiten Teil:
Es gibt kein Eriegnis A,B,C mit P(A)=P(B)=P(C)=0.9 mit P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) < 0.7 ist.
Würde hier als Beweis ausreichen, das man zeigt, dass es < 0.7 gibt ?
Dafür hatten wir doch schon ein Beispiel, wo 0.8 rauskam.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:29 Mo 16.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Es gibt kein Eriegnis A,B,C mit P(A)=P(B)=P(C)=0.9 mit P(A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C) < 0.7 ist.
>
> Würde hier als Beweis ausreichen, das man zeigt, dass es < 0.7 gibt ?
Meinst du $>0,7$ statt $<0,7$ ?
> Dafür hatten wir doch schon ein Beispiel, wo 0.8 rauskam.
Könnte doch a priori sein, dass bei anderen Ereignissen A,B,C trotzdem der Schnitt Wahrscheinlichkeit $<0,7$ hat.
Die Aussage dieser Aufgabe gilt übrigens unabhängig vom konkret gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\lambda,\mathcal{A},P)$.
[/mm]
Nimm an, es gäbe Ereignisse $A,B,C$ mit $P(A)=P(B)=P(C)=0,9$ und [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C) < 0,7$.
Wie sähen dann [mm] $P(A^c)$, $P(B^c)$, $P(C^c)$ [/mm] und [mm] $P(A^c\cup B^c\cup C^c)=P((A\cap B\cap C)^c)$ [/mm] aus?
Nutze die Subadditivität von P angewandt auf die Ereignisse [mm] $A^c$, $B^c$ [/mm] und [mm] $C^c$, [/mm] um zu einem Widerspruch zu gelangen.
P.S.: Ich sehe gerade, dass dieser Thread im Schulforum steht. Du bist aber schon Student(in), oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mo 16.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Ne, in der Aufgabenstellung steht <0,7.
Können wir nicht wie in der ersten Aufgabe vorgehen, das wäre mir lieber.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mo 16.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Können wir nicht wie in der ersten Aufgabe vorgehen, das
> wäre mir lieber.
Du solltest dich im Laufe der Zeit mit Argumentationen über Komplemente von Ereignissen anfreunden; sie sind häufig nützlich.
Auch hier ist der Beweis, wenn man über die Komplemente von A,B und C geht, sehr kurz. Daher fände ich es am einfachsten, wenn du dich darauf einlassen würdest.
Ansonsten könnte ich dir zwei Alternativen anbieten, die ich aber beide nicht befriedigend finde. Falls jemand eine bessere Idee hat, möge er/sie sie gerne ergänzen.
1. Alternative: Zwar mit den Komplementen von A,B und C arbeiten, jedoch mit Anzahlen von Elementen dieser Mengen statt mit den Wahrscheinlichkeiten argumentieren.
2. Alternative: Wieder mit Elementanzahlen argumentieren, jedoch ohne Betrachtung von Komplementen anhand von Leopolds Schaubild mit 7 (!) Variablen und Ungleichungen und Gleichungen wild herumrechnen.
(Beide Alternativen sind auch nur bei dieser speziellen Aufgabe, wo $P$ eine Laplace-Verteilung ist, anwendbar, während mein ursprünglich genannter Ansatz auch für ähnliche Aufgaben ohne Laplace-Verteilungs-Annahme funktioniert.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 16.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Okay , dann gehen wir über diesen Ansatz, nur kann ich nichts mit der Subadditivität anfangen.
Was genau muss ich tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Mo 16.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Okay , dann gehen wir über diesen Ansatz, nur kann ich
> nichts mit der Subadditivität anfangen.
Sie besagt, dass in beliebigen Wahrscheinlichkeitsräumen für beliebige Ereignisse A,B gilt:
[mm] $P(A\cup B)\le [/mm] P(A)+P(B)$.
Das hattet ihr doch bestimmt (offensichtlich ohne den Namen Subadditivität) in der Vorlesung, oder?
Allgemeiner kann man daraus per vollständiger Induktion folgern:
Für endlich viele beliebige Ereignisse [mm] $A_1,\ldots,A_n$ [/mm] gilt:
[mm] $P(A_1\cup\ldots\cup A_n)\le P(A_1)+\ldots+P(A_n)$.
[/mm]
> Was genau muss ich tun?
Ich schrieb:
> Nimm an, es gäbe Ereignisse $A,B,C$ mit $P(A)=P(B)=P(C)=0,9$ und
> [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C) < 0,7$.
>
> Wie sähen dann [mm] $P(A^c)$, $P(B^c)$, $P(C^c)$ [/mm] und [mm] $P(A^c\cup B^c\cup C^c)=P((A\cap B\cap C)^c)$ [/mm] aus?
Z.B. [mm] $P(A^c)=1-P(A)=\ldots$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 16.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Okay, da kommt man dann für alle drei Wahrscheinlichkeiten auf 0,1, right?
Wie ermittel ich jedoch deren Durchschnitt [mm] P(A^c\cup B^c\cup C^c)=P((A\cap B\cap C)^c) [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mo 16.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Okay, da kommt man dann für alle drei Wahrscheinlichkeiten
> auf 0,1, right?
> Wie ermittel ich jedoch deren Durchschnitt [mm]P(A^c\cup B^c\cup C^c)=P((A\cap B\cap C)^c)[/mm] ?
Fast genauso:
[mm] $P((A\cap B\cap C)^c)=1-P(A\cap B\cap C)\ldots$
[/mm]
Da wir [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C)$ nicht genau kennen, sondern nur annehmen, dass der Wert $<0,7$ ist, werden wir auch für [mm] $P((A\cap B\cap C)^c)$ [/mm] nur eine Ungleichung erhalten.
Und was sagt die Subadditivität von $P$ angewandt auf [mm] $A^c$, $B^c$ [/mm] und [mm] $C^c$?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mo 16.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
[mm] P(A^c) [/mm] = 1 - P (A)
wolltest darauf hinaus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mo 16.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]P(A^c)[/mm] = 1 - P (A)
>
> wolltest darauf hinaus?
Was hat das mit meiner vorherigen Antwort zu tun?
Ich schrieb:
> [mm] $P((A\cap B\cap C)^c)=1-P(A\cap B\cap C)\ldots$ [/mm]
>
> Da wir [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C)$ nicht genau kennen, sondern nur annehmen,
> dass der Wert $<0,7$ ist, werden wir auch für [mm] $P((A\cap B\cap C)^c)$
[/mm]
> nur eine Ungleichung erhalten.
Wenn [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C)<0,7$, was weißt du dann über [mm] $1-P(A\cap B\cap [/mm] C)$?
Ich schrieb:
> Und was sagt die Subadditivität von $P$ angewandt auf [mm] $A^c$, $B^c$ [/mm] und [mm] $C^c$?
[/mm]
Die Bedeutung der Subadditivität beschrieb ich wie folgt:
> Für endlich viele beliebige Ereignisse [mm] $A_1,\ldots,A_n$ [/mm] gilt:
>
> [mm] $P(A_1\cup\ldots\cup A_n)\le P(A_1)+\ldots+P(A_n)$.
[/mm]
Wende dies auf $n=3$ und [mm] $A_1=A^c$, $A_2=B^c$ [/mm] und [mm] $A_3=C^c$ [/mm] an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 16.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Also für die Ungleichung komme ich auf:
P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) > -1,7 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mo 16.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also für die Ungleichung komme ich auf:
>
> P(A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] C) > -1,7 ?
Wir nehmen an [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C)<0,7$. Die Frage war, was man damit über [mm] $1-P(A\cap B\cap [/mm] C)$ aussagen kann.
Zunächst folgt aus [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C)<0,7$ die Ungleichung
[mm] $-P(A\cap B\cap [/mm] C)>-0,7$
und damit
[mm] $1-P(A\cap B\cap [/mm] C)>1-0,7=0,3$.
> Ich schrieb:
> > Und was sagt die Subadditivität von $P$ angewandt auf [mm] $A^c$, $B^c$ [/mm] und [mm] $C^c$? [/mm]
> Die Bedeutung der Subadditivität beschrieb ich wie folgt:
> > Für endlich viele beliebige Ereignisse [mm] $A_1,\ldots,A_n$ [/mm] gilt:
> >
> > [mm] $P(A_1\cup\ldots\cup A_n)\le P(A_1)+\ldots+P(A_n)$. [/mm]
> Wende dies auf $n=3$ und [mm] $A_1=A^c$, $A_2=B^c$ [/mm] und [mm] $A_3=C^c$ [/mm] an.
Wenn du das hast, kannst du alles bisherige zusammenfügen, um zu einem Widerspruch zu gelangen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 16.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Daraus folgt für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten 0,1 , womit wir unseren Widerspruch bewiesen hätten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:25 Di 17.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Daraus
Woraus?
> folgt für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten 0,1
Welche Wahrscheinlichkeiten?
> womit wir unseren Widerspruch bewiesen hätten?
Worin liegt der Widerspruch?
Ich habe dich jetzt 4 (!) mal aufgefordert, die Subadditivität von $P$ auf [mm] $A^c$, $B^c$ [/mm] und [mm] $C^c$ [/mm] anzuwenden. Du bist bisher nicht ein einziges Mal darauf eingegangen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Di 17.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Okay also hier:
[mm] P(A^c)=1-P(A)=0.1
[/mm]
[mm] P(B^c)=1-P(B)=0.1
[/mm]
[mm] P(C^c)=1-P(C)=0.1
[/mm]
so richtig, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Di 17.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Okay also hier:
>
> [mm]P(A^c)=1-P(A)=0.1[/mm]
> [mm]P(B^c)=1-P(B)=0.1[/mm]
> [mm]P(C^c)=1-P(C)=0.1[/mm]
>
> so richtig, oder?
Ja, aber das hatten wir doch schon.
Jetzt zum 6. (!) mal die Aufforderung, die Subadditivität auf [mm] $A^c$, $B^c$ [/mm] und [mm] $C^c$ [/mm] anzuwenden. Warum ignorierst du sie so beharrlich? Wenn irgendetwas unklar ist, frag bitte nach. Aber ignoriere doch nicht einfach meine Aufforderung!
> Ich schrieb:
> > Und was sagt die Subadditivität von $P$ angewandt auf [mm] $A^c$, $B^c$ [/mm] und [mm] $C^c$?
[/mm]
> Die Bedeutung der Subadditivität beschrieb ich wie folgt:
> > Für endlich viele beliebige Ereignisse [mm] $A_1,\ldots,A_n$ [/mm] gilt:
> >
> > [mm] $P(A_1\cup\ldots\cup A_n)\le P(A_1)+\ldots+P(A_n)$.
[/mm]
> Wende dies auf $n=3$ und [mm] $A_1=A^c$, $A_2=B^c$ [/mm] und [mm] $A_3=C^c$ [/mm] an.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Di 17.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Ich glaub, ich weiß nicht so recht, was genau ich machen soll:
Ich hätte jetzt:
[mm] P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)\le P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)
[/mm]
also:
[mm] P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)\le [/mm] 0.3
geschrieben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Di 17.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich glaub, ich weiß nicht so recht, was genau ich machen
> soll:
>
> Ich hätte jetzt:
>
> [mm]P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)\le P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)[/mm]
>
> also:
>
> [mm]P(A_1 \cup A_2 \cup A_3)\le[/mm] 0.3
>
> geschrieben.
Geht doch!
(Wobei [mm] $A_1=A^c$, $A_2=B^c$ [/mm] und [mm] $A_3=C^c$).
[/mm]
Also [mm] $P(A^c\cup B^c \cup C^c)\le [/mm] 0,3$. (*)
Wir hatten aber schon
[mm] $P(A^c\cup B^c \cup C^c)=P((A\cap B\cap C)^c)=1-P(A\cap B\cap [/mm] C)>0,3$. (**)
(*) und (**) widersprechen sich offensichtlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Di 17.04.2012 | | Autor: | aaaa1 |
Oh, vielen Dank für die Geduld!
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Schau in das Diagramm meines ersten Beitrags und überlege, was das folgende "Rätsel" damit zu tun hat.
0,7 + 0,1 + 0,1 = 0,9
0,7 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 1
Beginne mit dem Schnitt [mm]A \cap B \cap C[/mm] und tue in ihn 70 Elemente, z.B. [mm]A \cap B \cap C = \left\{ 1,2,3,\ldots,70 \right\}[/mm].
Jetzt ergänze die fehlenden Felder, so daß [mm]x,y,z[/mm] die gewünschten Verhältnisse bekommen.
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Du hast hundert Ausgänge, die mit [mm]1,2,3,\ldots,100[/mm] bezeichnet sind. Jeder Ausgang hat laut Aufgabe die Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{100}[/mm]. Jetzt mußt du die Ausgänge so auf die drei Ereignisse verteilen, daß die Bedingungen der Aufgabe erfüllt sind.
Ein Beispiel:
[mm]A = \left\{ 1,2,3,\ldots,90 \right\} \, , \ \ B = \left\{ 11,12,13,\ldots,100 \right\} \, , \ \ C = \left\{ 6,7,8,\ldots,95 \right\}[/mm]
Jedes Ereignis hat 90 Ausgänge. Jeder Ausgang hat die Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{100}[/mm]. Daher gilt (Additivität):
[mm]P(A) = P(B) = P(C) = \frac{90}{100} = 0{,}9[/mm]
Damit ist die erste Bedingung der Aufgabe erfüllt. Jetzt zum Schnitt:
[mm]A \cap B \cap C = \left\{ 11,12,13,\ldots,90 \right\}[/mm]
Das sind 80 Ausgänge. Somit gilt:
[mm]P(A \cap B \cap C) = \frac{80}{100} = 0{,}8[/mm]
Die zweite Bedingung der Aufgabe ist also nicht erfüllt. Man muß es also anders anstellen. Schau dir das Diagramm in meinem ersten Beitrag an.
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