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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mi 04.01.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] |\wurzel{x}-\wurzel{y}| \le \wurzel{|x-y|} [/mm] für x,y [mm] \in \IR, [/mm] x,y [mm] \ge [/mm] 0. |
Momentan sind wir bei Funktionen und Stetigkeit, weiß aber gar nicht, wie ich an diese Aufgabe am besten rangehe. Bräuchte mal einen Tipp. Danke schonmal.
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moin hubbel,
Was weißt du schon über Wurzeln ohne Quadrate?
Weißt du etwa, dass sie auf [mm] $\IR^{+}_0 [/mm] monoton sind?
Wenn ja würde ich das so angehen:
Nimm als erstes an, dass $x [mm] \geq [/mm] y$.
Dann kannst du nämlich alle Betragsstriche weglassen.
Überleg dir, wie du, wenn du es für diesen Fall zeigen kannst, daraus recht schnell den anderen Fall, $x < y$ folgern kannst.
Dann nimm dir die Aussage und forme sie so lange äquivalent um, bis du auf eine wahre Aussage kommst.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Do 05.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Hatten wir so auch noch nicht gezeigt, wie kann ich denn zeigen, dass [mm] \wurzel{x} [/mm] stetig ist? Wäre eine gute Übung, um richtig reinzukommen!
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Hallo hubbel,
> Hatten wir so auch noch nicht gezeigt, wie kann ich denn
> zeigen, dass [mm]\wurzel{x}[/mm] stetig ist? Wäre eine gute Übung,
> um richtig reinzukommen!
Das machst du mit dem [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium und kannst für die Abschätzung von [mm]|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|[/mm] (wobei [mm]x_0\ge 0[/mm] die Stetigkeitsstelle sein soll) genau die zu zeigende Aussage verwenden ...
Für [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] (noch zu bestimmen) soll dann [mm]|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\varepsilon[/mm] sein, wobei [mm]\varepsilon>0[/mm] bel. vorgelegt ist.
Mit der in der Aufgabe zu zeigenden Ungleichung ist das (ein) passendes [mm]\delta>0[/mm] schnell gefunden ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Do 05.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Wir haben das in unserem Skript wie folgt definiert:
Zu dem [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0 derart, dass
[mm] |f(z)-f(a)|<\epsilon [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] D mit [mm] |z-a|<\epsilon.
[/mm]
Ich begreife aber nicht, wie ich das auf die Wurzel von x anwende, was genau sind z und a in dem Fall?
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Hallo nochmal,
> Wir haben das in unserem Skript wie folgt definiert:
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> Zu dem [mm]\epsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]\delta[/mm] > 0 derart, dass
>
> [mm]|f(z)-f(a)|<\epsilon[/mm] für alle z [mm]\in[/mm] D mit [mm]|z-a|<\epsilon.[/mm]
Hier muss [mm]|z-a|<\red{\delta}[/mm] stehen!
>
> Ich begreife aber nicht, wie ich das auf die Wurzel von x
> anwende, was genau sind z und a in dem Fall?
Nach deiner Aufgabe ist [mm]|f(x)-f(a)|=|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\le\sqrt{|x-a|}[/mm]
Und das soll kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] sein.
Wie kannst du nun [mm]\delta[/mm] wählen, so dass für [mm]|x-a|<\delta[/mm] dann [mm]\sqrt{|x-a|}<\varepsilon[/mm] ist?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Do 05.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Ja, habe mich vertippt, so ist es natürlich korrekt.
Verstehe, mein [mm] f(x)=\wurzel{x}
[/mm]
Ich müsste doch dann [mm] \delta=\epsilon^2 [/mm] wählen oder?
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Hallo nochmal
> Ja, habe mich vertippt, so ist es natürlich korrekt.
>
> Verstehe, mein [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm]
>
> Ich müsste doch dann [mm]\delta=\epsilon^2[/mm] wählen oder?
Ja, das könntest du machen, ist sehr naheliegend 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Fr 06.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Genügt das schon als Beweis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Fr 06.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Genügt das schon als Beweis?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Fr 06.01.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Gegeben sei nun die Funktion [mm] g:[0\infty) [/mm] -> [mm] \IR, g(x)=\wurzel{x}. [/mm] Zeigen Sie:
1. g ist gleichmäßig stetig
2. g ist nicht Lipschitz-stetig |
Ok, dann weiß ich dazu Bescheid.
Nur wie gehe ich an diese Aufgaben ran? Ist die erste Aufgabe nicht eigentlich schon bewiesen mit der ersten Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Sa 07.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Gegeben sei nun die Funktion [mm]g:[0\infty)[/mm] -> [mm]\IR, g(x)=\wurzel{x}.[/mm]
> Zeigen Sie:
>
> 1. g ist gleichmäßig stetig
> 2. g ist nicht Lipschitz-stetig
> Ok, dann weiß ich dazu Bescheid.
>
> Nur wie gehe ich an diese Aufgaben ran? Ist die erste
> Aufgabe nicht eigentlich schon bewiesen mit der ersten
> Aufgabe?
Nicht ganz. Du musst doch zeigen, dass g(x) gleichmässig stetig ist.
Dass g(x) nicht lipschitz-stetig ist, ist in der Tat recht schnell erledigt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Sa 07.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Habe es mittlerweile gelöst, dennoch danke!
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