Beweis, dass Kompositionen sur < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweis, dass Kompositionen surjektiver Funktionen immer surjektiv sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey. Kann mir einer von euch bei dem folgendem Beweis helfen?
Zeige, dass Kompositionen surjektiver Funktionen immer surjektiv sind.
Leider weiß ich, aufgrund meiner Beweisunerfahrenheit nicht mals wie ich anfangen sollte... Danke!
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Hallo math-freak!
> Leider weiß ich, aufgrund meiner Beweisunerfahrenheit nicht
> mals wie ich anfangen sollte... Danke!
Du nimmst Dir zwei surjektive Funktionen [mm] $f:A\to [/mm] B$, [mm] $g:B\to [/mm] C$ und zeigst, daß die Komposition [mm] $g\circ [/mm] f: [mm] A\to [/mm] C$ ebenfalls surjektiv ist, d.h. daß es zu jedem beliebigen [mm] $c\in [/mm] C$ ein [mm] $a\in [/mm] A$ gibt mit [mm] $g\circ [/mm] f (a)=c$.
Der Beweis muss also damit anfangen, daß Du Dir die zwei Funktionen hinschreibst und behauptest, daß sie surjektiv sind; dann wählst Du ein beliebiges Element von $C$ und nennst es z.B. $c$. Jetzt kannst Du die Surjektivität von $g$ benutzen, um die Existenz eines Elements [mm] $b\in [/mm] B$ herzuleiten, für das gilt: $g(b)=c$.
Hast Du eine Idee, wie es weitergehen könnte?
Gruß, phrygian
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hm... also ich tue mich noch etwas schwer mit der notation:
g ist surjektiv:
g(x)=...?
f ist surjektiv:
f(y)=...?
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> hm... also ich tue mich noch etwas schwer mit der
> notation:
>
> g ist surjektiv:
> g(x)=...?
> f ist surjektiv:
> f(y)=...?
Kennst Du die Definition von surjektiv und ist Dir klar, was sie bedeutet?
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naja, surjektiv heißt ja eigentlich nur, dass es zu jedem y mind. ein x gibt. mir fehlt aber eine rein mathematische def., wie ich sie bspw. für die injektivität habe. denn nur durch diese war mir der gleiche beweis für injektivität möglich
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> naja, surjektiv heißt ja eigentlich nur, dass es zu jedem y
> mind. ein x gibt.
Wenn Du nicht festlegst, was x und y sind bzw. zu welcher Menge sie gehören, ergibt Deine Aussage keinen Sinn.
> mir fehlt aber eine rein mathematische
> def., wie ich sie bspw. für die injektivität habe. denn nur
> durch diese war mir der gleiche beweis für injektivität
> möglich
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach.
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naja ok... ich meinte, dass f surjektiv ist, wenn für alle y aus Y mindestens ein x aus X mit f(x) = y existiert. aber wie habe ich denn dann konkret weiter zu verfahren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Mi 18.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Ok,
dann mal noch dieses Ansatz bis zum Ende denken:
also Definitionen wie gehabt, zu zeigen ist, dass es zu jedem c aus C ein a aus A existiert, so dass g(f(a))=c ist
also weil g ja surjektiv ist, würde ein b aus B existieren mit g(b)=c
die Frage ist nun, ob es auch ein a aus A geben muss, so dass f(a)=b
(also ob genügend viele Elemente aus B getroffen werden, so dass man die surjektivität von g nutzen kann)
und? warum gibt es solch ein a mit f(a)=b ?!?
viele grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Mi 18.10.2006 | | Autor: | math-freak |
naja, weil f(a) und g(b) halt surjektiv sind... *g* anschaulich ist's soweit eigentlich klar. die frage ist nur, wie man's am besten mathematisch korrekt notiert, so dass ich's aber auch auf anhieb versteh. denn die notation hab ich noch nicht ganz intus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mi 18.10.2006 | | Autor: | phrygian |
> naja, weil f(a) und g(b) halt surjektiv sind... *g*
Du meinst sicher das Richtige, aber so ausgedrückt stimmt es nicht: $f(a)$ und $g(b)$ sind Funktionswerte, und die können nicht surjektiv sein. Richtig müsste es heissen: weil $f$ und $g$ surjektiv sind. Das mag Dir übertrieben genau erscheinen, aber eine Ungenauigkeit im Ausdruck kann eine Ungenauigkeit im Denken zur Folge haben oder ist dessen Folge...
> anschaulich ist's soweit eigentlich klar. die frage ist
> nur, wie man's am besten mathematisch korrekt notiert, so
> dass ich's aber auch auf anhieb versteh. denn die notation
> hab ich noch nicht ganz intus
Also, den Beweis kannst Du so aufschreiben:
Seien [mm]f:A\to B[/mm] und [mm]g:B\to C[/mm] zwei surjektive Funktionen. Wähle ein beliebiges [mm]c\in C[/mm]. Da [mm]g[/mm] surjektiv ist, existiert ein [mm]b\in B[/mm] mit [mm]g(b)=c[/mm], und da [mm]f[/mm] auch surjektiv ist, existiert ein [mm]a\in A[/mm] mit [mm]f(a)=b[/mm]. Somit gilt: [mm]c=g(b)=g(f(a))=g\circ f (a)[/mm]. Damit ist die Existenz eines Elements von A gezeigt, das durch [mm] $g\circ [/mm] f$ auf $c$ abgebildet wird.
Da $c$ beliebig gewählt worden ist, gilt dies für jedes Element von C.
Alles klar so?
Gruß, phrygian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 18.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
ich will euch bei eurem Ansatz nicht reinreden, sondern eine Alternative vorschlagen:
also es sei : [mm] $f:A\to [/mm] B$ und [mm] $g:B\to [/mm] C$ jeweils surjektiv (d.h Bild(f)=B und Bild(g)=C )
dann ist [mm] Bild($g\circ f$)=Bild($g_{| Bild(f)}$)
[/mm]
(soll heißen, das Bild der komposition ist gleich dem Bild von g angewendet auf dem Bild von f)
nun ist aber Bild(f)=B und damit [mm] $g_{| Bild(f)}=g$ [/mm] also ist
[mm] Bild($g\circ f$)=Bild($g_{| Bild(f)}$)=Bild(g)=C [/mm] und somit die Komposition auch surjektiv.
Ich betone aber mal gaanz deutlich, dass man am Anfang ein wenig überlegen muss um diese Gleichungen zu sehen und deshalb der Weg über einzelne (aber beliebige) Elemente sicher der sinnvollere ist.
(also so, wie phrygian es angefangen hat, ist es absoluter standard und man sollte es auf jeden Fall auch so mal gemacht haben !!)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mi 18.10.2006 | | Autor: | math-freak |
joa, das ist allerdings etwas tricky. aber leider verstehe ich auch noch nicht ganz den ersten weg... mag mir den vllt. mal jemand etwas komplettieren und vor allem mehr erläutern...? wäre super
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@DaMenge
wie kann man dein "bild" denn mathematisch ausdrücken??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 18.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also das bild ist einfach definiert:
sei [mm] $f:A\to [/mm] B$, dann ist [mm] Bild(f)=$\{ y\in B | \exists x\in A : f(x)=y \}$
[/mm]
also einfach alles das, was getroffen wird..
viele Grüße
DaMenge
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