Beweis der Divergenz mit Def. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Folge [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen a, falls
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists N\in\IN: \forall [/mm] n> N [mm] |a_{n} [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] |
Hallo,
betrachtet man folgende Folge [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}}. [/mm] So kann man die Folge einfach abschätzen und zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein N angeben.(Also ein N in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon).
[/mm]
Betrachtet man aber nun die Folge [mm] c_{n} [/mm] := [mm] (-1)^{n}. [/mm] So ist offensichtlich, dass sie divergiert. Meine Frage ist, wie kann ich die Definition der Konvergenz dazu benutzen um zu zeigen dass diese und jede weitere divergente Folge tatsächlich divergiert? Vielleicht hat jemand ja noch ein weiteres Beispiel parat, dass ich nach der Erklärung zu obigen selber lösen könnte.
Schon mal Danke für eure Hilfe
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Hallo,
> Eine Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen a, falls
>
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists N\in\IN: \forall[/mm] n> N [mm]|a_{n}[/mm]
> - a | < [mm]\varepsilon[/mm]
> Hallo,
>
> betrachtet man folgende Folge [mm]a_{n}[/mm] :=
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}.[/mm] So kann man die Folge einfach
> abschätzen und zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] ein N angeben.(Also
> ein N in Abhängigkeit von [mm]\varepsilon).[/mm]
>
> Betrachtet man aber nun die Folge [mm]c_{n}[/mm] := [mm](-1)^{n}.[/mm] So ist
> offensichtlich, dass sie divergiert. Meine Frage ist, wie
> kann ich die Definition der Konvergenz dazu benutzen um zu
> zeigen dass diese und jede weitere divergente Folge
> tatsächlich divergiert?
Da fällt mir folgender Zweizeiler ein:
Gelbrot und grün macht das Gelbe, grün und violblau das Blaue!
So wird aus Gurkensalat wirklich der Essig erzeugt!
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Friedrich Schiller
Warum immer alles mit einer Formel erschlagen, bzw. mit einem Konzept daherkommen, das für ein Problem überhaupt nicht zuständig ist?
Wenn, dann müsste man das wohl mit einem Widerspruchsbeweis machen. Also zeigen, dass es zu jedem möglichen Grenzwert a (denn es gibt ja keinen!) ein Epsilon gibt, für welches keine oder nur endlich viele Folgenglieder in der zugehörigen Epsilonumgebung liegen. Aber wie gesagt: einen Sinn kann ich in dieser Vorgehensweise nicht entdecken.
> Vielleicht hat jemand ja noch ein
> weiteres Beispiel parat, dass ich nach der Erklärung zu
> obigen selber lösen könnte.
[mm] a_n=n
[/mm]
Gruß, Diophant
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> Warum immer alles mit einer Formel erschlagen, bzw. mit
> einem Konzept daherkommen, das für ein Problem überhaupt
> nicht zuständig ist?
Die Uni will das so. Außerdem kann es ja nicht schaden ein Problem auf unterschiedliche Weisen zu lösen.
>
> Wenn, dann müsste man das wohl mit einem
> Widerspruchsbeweis machen. Also zeigen, dass es zu jedem
> möglichen Grenzwert a (denn es gibt ja keinen!) ein
> Epsilon gibt, für welches keine Folgenglieder in
> der zugehörigen Epsilonumgebung liegen. Aber wie gesagt:
> einen Sinn kann ich in dieser Vorgehensweise nicht
> entdecken.
Könntest du oder jemand anderes mir das an meinem Beispiel erklären. Also wie ich da vor gehen kann, sollte?
> [mm]a_n=n[/mm]
Danke wenn ich die Vorgehensweise kenne, werde ich mich dran versuchen.
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Hallo,
ich habe mal deine Ausgangsfrage auf 'teilweise beantwortet' gestellt.
> Könntest du oder jemand anderes mir das an meinem Beispiel
> erklären. Also wie ich da vor gehen kann, sollte?
Hab ich doch gemacht. Was hast du daran nicht verstanden?
> > [mm]a_n=n[/mm]
>
Nehmen wir an, die durch
[mm] a_n=n
[/mm]
gegebene Folge der natürlichen zahlen konvergiert gegen einen Grenzwert [mm] a\in\IR. [/mm] Wähle
[mm] \epsilon=1
[/mm]
und die Ungleichung
[mm] |a_n-a|<\epsilon
[/mm]
stimmt für höchstens zwei Folgenglieder.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:19 Fr 27.12.2013 | | Autor: | MeineKekse |
> Hab ich doch gemacht. Was hast du daran nicht verstanden?
Vielleicht habe ich mich missverständlich ausgedrückt, ich dachte eher an ein praktisches Beispiel, so wie unten(nicht die Theorie).
> > > [mm]a_n=n[/mm]
> >
>
> Nehmen wir an, die durch
>
> [mm]a_n=n[/mm]
>
> gegebene Folge der natürlichen zahlen konvergiert gegen
> einen Grenzwert [mm]a\in\IR.[/mm] Wähle
>
> [mm]\epsilon=1[/mm]
>
> und die Ungleichung
>
> [mm]|a_n-a|<\epsilon[/mm]
>
> stimmt für höchstens zwei Folgenglieder.
>
Okay, dann betrachte ich jetzt meine Folge [mm] b_{n} [/mm] := [mm] (-1)^n. [/mm] Nehme ich also an diese Folge sei gegen b konvergent. Dann muss ich zu [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 ein passendes N finden.
Betrachte ich also [mm] |b_{n}-b| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
dann ist das nicht für alle [mm] b_{n} [/mm] mit n größer als N erfüllt.
Nun soweit so gut. Mein letzter Satz (sowie auch dein letzter Satz) ist ja aber eine Aussage. Muss die nicht auch bewiesen werden (mit einem Widerspruch, wie du oben schriebst) oder ist die offensichtlich gültig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Fr 27.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Nun soweit so gut. Mein letzter Satz (sowie auch dein
> letzter Satz) ist ja aber eine Aussage. Muss die nicht auch
> bewiesen werden (mit einem Widerspruch, wie du oben
> schriebst) oder ist die offensichtlich gültig?
Siehe dazu die Antwort von schachuzipus!
Gruß, Diophant
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Hallo,
um es noch etwas aufzudröseln und Diophants Ansatz auszuschmücken:
Für den Divergenznachweis von [mm](a_n)_{n\in\IN}=\left((-1)^n\right)_{n\in\IN}[/mm] müsstest du zeigen:
[mm]\forall a\in\IR\exists\varepsilon>0\forall N\in\IN\exists n\ge N:|a_n-a|\ge\varepsilon[/mm]
Sei also [mm]a\in\IR[/mm] beliebig vorgelegt.
Dann wähle - wie schon bei Diophant steht - [mm]\varepsilon:=1[/mm]
Weiter sei [mm]N\in\IN[/mm] beliebig
1.Fall: [mm]a\ge 0[/mm]
Dann gilt für ungerades [mm]n\ge N[/mm]:
[mm]|a_n-a|=|-1-a|=|(-1)\cdot{}(1+a)|=|1+a|=1+a\ge 1=\varepsilon[/mm]
2.Fall: [mm]a<0[/mm]
Dann gilt für gerades [mm]n\ge N[/mm]:
[mm]|a_n-a|=|1-a|=1-a>1=\varepsilon[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Nehmen wir an, die durch
[mm] a_n=n [/mm]
gegebene Folge der natürlichen zahlen konvergiert gegen einen Grenzwert [mm] a\in\IR. [/mm] Wähle
[mm] \varepsilon=1 [/mm]
und die Ungleichung
Für alle a >= 0
Da n > N wähle z.B. n=N+a+2
|N+a+2-a| = N+2 > 1= [mm] \varepsilon [/mm]
Für alle a < 0 n= N+2
|N+2-a| = n+2-a > 1= [mm] \varepsilon [/mm]
Wäre dieser Beweis ebenfalls richtig?
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Hallo,
> Nehmen wir an, die durch
>
> [mm]a_n=n[/mm]
>
> gegebene Folge der natürlichen zahlen konvergiert gegen
> einen Grenzwert [mm]a\in\IR.[/mm] Wähle
>
> [mm]\varepsilon=1[/mm]
>
> und die Ungleichung
>
> Für alle a >= 0
>
> Da n > N wähle z.B. n=N+a+2
>
> |N+a+2-a| = N+2 > 1= [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> Für alle a < 0 n= N+2
>
>
> |N+2-a| = n+2-a > 1= [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
>
> Wäre dieser Beweis ebenfalls richtig?
In der letzten Zeile ist ein Tippfehler, da muss es hinter dem ersten Gleichheitszeichen natürlich wieder N+2-a heißen. Ansonsten sollte dir dein erster Fall eigentlich vor Augen führen, dass die Fallunterscheidung hier in diuesem Fall (im Unterschied zur Rechnung von schachuzipus beim Nachweis der Divergenz von [mm] (-1)^n [/mm] ) nicht notwendig ist.
Gehe nicht so mechanisch vor, sondern versuche, die einzelnen Schritte so zu wählen, dass sie für dich selbst einen Sinn ergeben, dass sie dich eben deinem Ziel näher bringen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Fr 27.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Eine Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergiert gegen a, falls
>
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists N\in\IN: \forall[/mm] n> N [mm]|a_{n}[/mm]
> - a | < [mm]\varepsilon[/mm]
> Hallo,
>
> betrachtet man folgende Folge [mm]a_{n}[/mm] :=
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}.[/mm] So kann man die Folge einfach
> abschätzen und zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] ein N angeben.(Also
> ein N in Abhängigkeit von [mm]\varepsilon).[/mm]
>
> Betrachtet man aber nun die Folge [mm]c_{n}[/mm] := [mm](-1)^{n}.[/mm] So ist
> offensichtlich, dass sie divergiert. Meine Frage ist, wie
> kann ich die Definition der Konvergenz dazu benutzen um zu
> zeigen dass diese und jede weitere divergente Folge
> tatsächlich divergiert? Vielleicht hat jemand ja noch ein
> weiteres Beispiel parat, dass ich nach der Erklärung zu
> obigen selber lösen könnte.
>
> Schon mal Danke für eure Hilfe
Zur Divergenz von [mm] (c_n), [/mm] wobei [mm]c_{n}[/mm] := [mm](-1)^{n}.[/mm]
Nimm an, diese Folge wäre konvergent und ihr Grenzwert sei c.
Dann:
[mm] $2=|c_n-c_{n+1}|=|c_n-c+c-c_{n+1}| \le |c_n-c|+|c_{n+1}-c|$
[/mm]
Kann das gut gehen ?
FRED
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> Dann:
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> [mm]2=|c_n-c_{n+1}|=|c_n-c+c-c_{n+1}| \le |c_n-c|+|c_{n+1}-c|[/mm]
>
> Kann das gut gehen ?
>
Nein denn dann wäre 2 < 2 ein Widerspruch.
Kann man dieses Verfahren immer anwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 So 29.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo MeineKekse!
Eine Bitte vorneweg: stelle Rückfragen auch als Fragen (und nicht nur als Mitteilungen).
> > [mm]2=|c_n-c_{n+1}|=|c_n-c+c-c_{n+1}| \le |c_n-c|+|c_{n+1}-c|[/mm]
> >
> > Kann das gut gehen ?
>
> Nein denn dann wäre 2 < 2 ein Widerspruch.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann man dieses Verfahren immer anwenden?
"Immer" mit Sicherheit nicht.
Das lässt sich so pauschal nicht sagen. Für jeden Folgen / jeden Folgentyp muss man evtl. unterschiedlich vorgehen.
Zunächst gilt es natütlich festzustellen / den Verdacht zu haben, ob eine Folge nun konvergiert oder divergiert.
Gruß
Loddar
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