Beweis der Dreiecksungleichung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Di 22.08.2006 | | Autor: | lauravr |
- Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. -
Als Hausaufgabe soll ein Beweis für die Dreiecksungleichung
|a+b| [mm] \le [/mm] |a| + |b|
gefunden werden.
Habe mich im Internet schon etwas umgeguckt, und kaum wirkliche Beweise gefunden. Teilweise habe ich auch Behauptungen gefunden, dass die Dreiecksungleichung ein Axiom sei, also gar nicht wirklich beweisbar. Ist das richtig?
Lg, Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Di 22.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> - Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. -
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> Als Hausaufgabe soll ein Beweis für die Dreiecksungleichung
> |a+b| [mm]\le[/mm] |a| + |b|
> gefunden werden.
> Habe mich im Internet schon etwas umgeguckt, und kaum
> wirkliche Beweise gefunden. Teilweise habe ich auch
> Behauptungen gefunden, dass die Dreiecksungleichung ein
> Axiom sei, also gar nicht wirklich beweisbar. Ist das
> richtig?
>
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> Lg, Laura
Hallo Laura,
Zuerst einmal: Die Dreiecksungleichung ist KEIN Axiom, sie kann bewiesen werden.
Dazu brauchen wir erstmal die Definition des Betrages, ich nehme mal an, dass ihr in [mm] \IR [/mm] rechnet.
Also
|x| = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
Jetzt machst du ein paar Fallunterscheidungen:
1) a [mm] \ge [/mm] 0 und b [mm] \ge [/mm] 0
Dann gilt: |a + b| = |a| + |b|.
2) a<0 und b<0 Dann gilt |a + b| = |(-1) [mm] \underbrace{(-a -b)}_{>0}| [/mm] = |-1| (|-a| + |-b|) = |a| + |b|
3) Sei nun a [mm] \ge [/mm] 0 und b < 0:
Dann gilt: |a| = a und |b| = -b
(Wenn gilt: a<0 und [mm] b\ge0 [/mm] betrachte |a+b| = |b+a|)
Jetzt musst du nochmal eine Fallunterscheidung machen.
3.1) Es gilt zusätzlich a+b [mm] \ge [/mm] 0:
Dann gilt, ich weiss, dass ist ein wenig verwirrend, aber ich habe keinen besseren Beweis gefunden:
|a| + |b| - |a +b| = a + (-b) + (a+b) = -b + -b [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] |a| + |b| - |a +b| [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] |a| + |b| [mm] \ge [/mm] |a +b|
3.2)
Es gilt zusätzlich: a+b < 0
Dann gilt:
|a| + |b| - |a +b| = a + (-b) + (a+b) = a + a [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] |a| + |b| - |a +b| [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] |a| + |b| [mm] \ge [/mm] |a +b|
Das sind die vier auftretenden Fälle.
Das ganze habe ich aus dem sehr guten Skript von meinem Analysis1 Professor, das du ![[]](/images/popup.gif) hier herunterladen kannst. Dieser Beweis steht in Kapitel 2, "Der Körper der rationalen Zahlen".
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mi 23.08.2006 | | Autor: | lauravr |
Erst einmal danke für die schnelle Hilfe. Habe jedoch noch einige Fragen.
Die Dreiecksungleichung bedeutet ja, geometrisch gesehen, dass die Seiten a und b eines Dreiecks immer größer oder gleich c sind. Müsste das dann nicht bedeuten, dass für das Dreieck nur Fallunterscheidung 1 gelten würde? Kann 3.1. trotzdem damit in Verbindung gebracht werden (denn wenn sowohl a, als auch b größer gleich Null ist, dann ist es deren Summe ja erst recht.) ? Oder setzen 3.1. und 3.2. Fallbespiel 3 voraus?
Sind 2. und 3. nur theoretisch (also nicht konstruirbar)?
Wenn ich 3.1. mal mit Zahlen durchgehe, kommen noch Fragen auf. Wenn ich a = 5 und b = (-2) einsetze, erhalte ich für die erste Gleichung in der ersten Zeile 4=10, was ja nicht sein kann. Wo liegt der Fehler?
Genau dasgleiche bei 3.2. . Wenn ich a = 1 und b = (-3) einsetze, bekomme ich in der ersten Zeile 4 = 2 raus.
Ich hoffe auf schnelle Hilfe.
Dankeschön, schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mi 23.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal,
3.1 und 3.2 setzen tatsächlich 3 voraus.
Tatsächlich wirst du kein Dreieck mit negativen Seitenlängen finden, (also Fälle 2 und 3) wenn du willst, lass diese Fälle dann weg. Ich wusste nur nicht, wie genau du den Beweis brauchtest.
Und noch ein Tipp: Wenn gilt: Die beiden kurzen Seiten a und b ergeben zusammen die lange Seite c, hast du eine Gerade. d.h. für jedes "echte" Dreieck gilt a+b > c.
Ich hoffe, das das deine Fragen klärt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 23.08.2006 | | Autor: | lauravr |
Gut. Dankeschön.
Und wie kommt es nun zu meinen Rechenfehlern bei 3.1 und 3.2 ?
Für ein echtes Dreieck (also Fall 1) gibt es also nicht wirklich einen Beweis, sondern nur die Hypothese |a+b| = |a| + |b| ?
Lg Laura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mi 23.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Gut. Dankeschön.
> Und wie kommt es nun zu meinen Rechenfehlern bei 3.1 und
> 3.2 ?
Keine Ahnung, vergiss den Teil einfach, kann durchaus sein, dass ich nen Vorzeichendreher eingebaut habe.
>
> Für ein echtes Dreieck (also Fall 1) gibt es also nicht
> wirklich einen Beweis, sondern nur die Hypothese |a+b| =
> |a| + |b| ?
>
Die Aussage |a+b| = |a| + |b| gilt generell, sofern a und b > 0. Aber ich denke, dass du zeigen sollst, dass in einem Dreieck mit Seiten a, b und der langen Seite c gilt:
|a|+|b| > |c| .
Das werde ich mal versuchen, komplett zu beweisen, wenn ich dir schon solche Sachen an den Kopf werfe.
Also nehmen wir mal an, a und b sind die Kurzen Seiten: (beide [mm] \not= [/mm] 0).
Dann gilt sicher |2a| + |2b| > |a| + |b| = |a| + |b| + c - c > |a| + |b| - c, weil ja c>0.
[mm] \Rightarrow [/mm] |2a+2b| > |a| + |b| - c [mm] \Rightarrow [/mm] |a+b| > |-c| = |c| > 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] |a| + |b| > |c| .
> Lg Laura
Ich hoffe, dass ich dich nicht allzusehr verwirrt habe, wenn doch, SORRY.
Marius
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