Beweis der Peanostruktur < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Fr 05.04.2013 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Es sei eine Peanostruktur N gegeben. Zeigen Sie:
a) Es ist N = [mm] \{\alpha\} \cup [/mm] Im suc. |
Ehrlich gesagt, fehlt mir die Idee wie ich an diesen Beweis rangehen soll bzw. die Ausführung meiner Idee.
Ich denke man muss jetzt die Axiome für eine Peanostrukur beweisen -
bzw. zeigen, dass [mm] \alpha \not\in [/mm] Im suc.
Aber ich hab keine Ahnung wie das funktionieren soll.
Hat vielleicht jemand einen Tipp, wie ich das ganze struktuieren kann um die Aufgabe zu lösen?
Danke im Voraus
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Hallo,
> Es sei eine Peanostruktur N gegeben. Zeigen Sie:
> a) Es ist N = [mm]\{\alpha\} \cup[/mm] Im suc. (*)
> Ich denke man muss jetzt die Axiome für eine Peanostrukur
> beweisen -
> bzw. zeigen, dass [mm]\alpha \not\in[/mm] Im suc.
Nein, die Axiome musst du nicht beweisen. Du hast ja eine Peano-Struktur gegeben, und darfst nun die Axiome für deinen Beweis benutzen. Außerdem sehe ich an der obigen Behauptung in a) nicht, dass die Vereinigung disjunkt sein soll und du [mm] $\alpha \not\in [/mm] Imsuc$ zeigen sollst.
Vermutlich ist diese Vereinigung aber disjunkt.
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Mir ist das Gebiet nicht so bekannt. Allerdings halte ich es für sinnvoll, wenn du hier mal EURE Axiome für eine Peano-Struktur hinschreibst, dann können wir uns einen Beweis für a) überlegen. Ich kenne folgende Def.
$(N, 0, [mm] \nu)$ [/mm] heißt Peano-Struktur, falls [mm] $0\in [/mm] N$ ("Null"), [mm] $\nu:N\to [/mm] N$ ("Nachfolgerfunktion") und
(P1): [mm] $\nu(n)\not= [/mm] 0$
(P2): [mm] $\nu$ [/mm] injektiv
(P3): [mm] $\Big[ [/mm] 0 [mm] \in [/mm] T [mm] \subset [/mm] N [mm] \mbox{ und } \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] T: [mm] \nu(x) \in [/mm] T [mm] \Big] \Rightarrow [/mm] T = N$.
Die Notation oben ist mir nicht ganz bekannt, ich gehe aber davon aus, dass [mm] $\alpha$ [/mm] das Nullelement sein soll und Imsuc die Menge aller Nachfolger? Wenn du diese Def. nachschlägst und hier hinschreibst, kommt dir vielleicht selbst schon eine Idee.
Man könnte aber zum Beispiel zeigen, dass die rechte Seite deiner zu zeigenden Gleichung (*) das Axiom (P3) erfüllt.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Sa 06.04.2013 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Unsere Aufzeichnungen aus der Vorlesung:
Eine Peanostruktur besteht aus
einer Menge N, einer injektiven Abb. s: N [mm] \to [/mm] N
und einem Element [mm] \alpha \in [/mm] N\ Ims,
so dass gilt:
Induktionsaxoim: Für jede Teilmenge U [mm] \subseteq \IN_{0} [/mm] mit [mm] \{\alpha\} \cup [/mm] s(U) [mm] \subseteq [/mm] U gilt U= [mm] \IN_{0} [/mm]
Wobei [mm] \alpha [/mm] das Anfangselement und sucn = Nachfolger von n |
Es wurden die Axiome nicht explizit unterschieden.
Allerdings verstehe ich nicht so recht, wie man damit die Aufgabe a) lösen soll..
Ich weiß nicht so recht, wie man die rechte Seite von dem was ich zeigen muss umformen kann, so dass ich es mit deinem P3 Axiom zeigen kann..
Habt ihr vielleicht noch einen Tipp oder Ansatz?
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Hallo,
> Unsere Aufzeichnungen aus der Vorlesung:
> Eine Peanostruktur besteht aus
> einer Menge N, einer injektiven Abb. s: N [mm]\to[/mm] N
> und einem Element [mm]\alpha \in[/mm] N\ Ims,
> so dass gilt:
> Induktionsaxoim: Für jede Teilmenge U [mm]\subseteq \IN_{0}[/mm]
> mit [mm]\{\alpha\} \cup[/mm] s(U) [mm]\subseteq[/mm] U gilt U= [mm]\IN_{0}[/mm]
> Wobei [mm]\alpha[/mm] das Anfangselement und sucn = Nachfolger von
> n
Ist suc = s ??? Du verwendest hier zwei verschiedene Bezeichnungen.
Und soll da statt [mm] $\N_0$ [/mm] eigtl. N stehen ?
> Ich weiß nicht so recht, wie man die rechte Seite von dem
> was ich zeigen muss umformen kann, so dass ich es mit
> deinem P3 Axiom zeigen kann..
> Habt ihr vielleicht noch einen Tipp oder Ansatz?
Du sollst zeigen: $N = [mm] \{\alpha\} \cup [/mm] Im(s)$.
Dazu kannst du das Induktionsaxiom benutzen. Zeige, dass die Menge $U := [mm] \{\alpha\} \cup [/mm] Im(s)$ alle Eigenschaften erfüllt, die oben gefordert werden.
Also:
Zeige $U [mm] \subset [/mm] N$,
Zeige [mm] $\{\alpha\} \cup [/mm] s(U) [mm] \subset [/mm] U$.
Nach dem Induktionsaxiom folgt dann $U = N$, und genau das möchtest du ja.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Sa 06.04.2013 | | Autor: | sarahharas |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 06.04.2013 | | Autor: | julmarie |
erst Mal danke :)
Und ja, suc = s, habe ich gerade nochmal nachgeschaut. und zu deiner zweiten Anmerkung, ne da soll [mm] \IN_{0} [/mm] stehen. Denn wie haben die Peanostruktur bisher nur am beispiel von [mm] \IN_{0} [/mm] gemacht. Aufgabenteil c) dieser Aufgabe ist es nämlich zu zeigen, dass [mm] \IN [/mm] auch eine Peanostruktur ist...
aaah, okay - man da stand ich aber auf dem Schlauch.
Okay, also muss ich nun überprüfen
i) U [mm] \subseteq [/mm] N
ii) { [mm] {\alpha} [/mm] } [mm] \cup [/mm] s(U) [mm] \subset [/mm] U
U = { [mm] {\alpha} [/mm] } [mm] \cup [/mm] Im suc, wobei mit Im suc wohl das Bild des Nachfolgers gemeint ist?!
Ich weiß dass es sich hierbei also um die Vereinigungsmenge von { [mm] {\alpha} [/mm] } und dem Bild des Nachfolgers handelt. Aber ich kann mir unter dieser Menge nicht so recht was vorstellen, weshalb ich auch nicht weiß wo ich anfangen soll, wenn ich i) zeigen möchte!
Wenn ich zeigen möchte, dass U [mm] \subseteq [/mm] N, dann muss also gezeigt werden, dass die Vereinigungsmenge, also sowohl { [mm] {\alpha} [/mm] }(das anfangselement), also auch "Im suc", das Bild der Nachfolger in der Menge N enthalten sind.
Vielleicht bin ich nur blockiert wegen der eigenartigen schreibweise meines Profs, aber ich weiß nicht wie man das zeigen soll.. ich habe im Internet leider auch nichts vergleichbares gefunden, an das ich mich halten kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 So 07.04.2013 | | Autor: | hippias |
> erst Mal danke :)
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> Und ja, suc = s, habe ich gerade nochmal nachgeschaut. und
> zu deiner zweiten Anmerkung, ne da soll [mm]\IN_{0}[/mm] stehen.
> Denn wie haben die Peanostruktur bisher nur am beispiel von
> [mm]\IN_{0}[/mm] gemacht. Aufgabenteil c) dieser Aufgabe ist es
> nämlich zu zeigen, dass [mm]\IN[/mm] auch eine Peanostruktur
> ist...
>
>
> aaah, okay - man da stand ich aber auf dem Schlauch.
>
> Okay, also muss ich nun überprüfen
>
> i) U [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N
> ii) { [mm]{\alpha}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\cup[/mm] s(U) [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U
>
> U = { [mm]{\alpha}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Im suc, wobei mit Im suc wohl das
> Bild des Nachfolgers gemeint ist?!
>
> Ich weiß dass es sich hierbei also um die
> Vereinigungsmenge von { [mm]{\alpha}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und dem Bild des
> Nachfolgers handelt. Aber ich kann mir unter dieser Menge
> nicht so recht was vorstellen, weshalb ich auch nicht weiß
> wo ich anfangen soll, wenn ich i) zeigen möchte!
Du musst Dir ueberlegen, dass jedes Element in $U$ in der Menge $N$ liegt. Dies erfordert weniger Ueberlegung als eine Rueckbesinnung auf die Definition von $s$ und der Wahl von $\alpha$. Woher stammt denn $\alpha$ urspruenglich? Wohin bildet $s$ nach Definition ab?
>
> Wenn ich zeigen möchte, dass U [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N, dann muss also
> gezeigt werden, dass die Vereinigungsmenge, also sowohl {
> [mm]{\alpha}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}(das anfangselement), also auch "Im suc", das
> Bild der Nachfolger in der Menge N enthalten sind.
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> Vielleicht bin ich nur blockiert wegen der eigenartigen
> schreibweise meines Profs, aber ich weiß nicht wie man das
> zeigen soll.. ich habe im Internet leider auch nichts
> vergleichbares gefunden, an das ich mich halten kann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 So 07.04.2013 | | Autor: | julmarie |
Danke, jetzt hab ichs :)
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