Beweis der Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit und erstellen Sie für jede Funktion
ein Schaubild. Für beide Funktionen gilt D(f) = D(g) = R.
[mm] g(x)=\begin{cases} 6, & \mbox{für } x=3 \mbox{ } \\ \bruch{x²-9}{x-3}, & \mbox{für } x\not=3 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
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hallo liebe gemeinde,
ich bin soweit das ich von links [mm] g_{l} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\{3}}6 [/mm] =6
und habe dann das andere aufgelöst und von rechts [mm] g_{r} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\{keine ahnung}} [/mm] x+3 = x+3
beim 2. war ich mir nich klar was zu machen ist, in der aufgabe steht, das es ich 3 ja nicht benutzen darf, is ja nich in der Definitionsmenge
wenn ich mir die beiden aber zeichnen lasse, sehe ich das die stetig sind und nicht springen oder so, wie mus ich das also schreiben, darf ich evtl beim 2. dann doch die 3 für x einsetzen ?
danke schonma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Do 11.12.2008 | | Autor: | Ruunay |
Hallo!
So wie ich das bewerte ist dir die Limesanwendung selbst noch ein wenig unklar. Bei der Stetigkeit untersuchst du, wie richtig angenommen, ob linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert = Funktionswert an der Stelle ist.
Um jedoch zum Ziel zu kommen hast du einen falschen Anfang gewählt. Deine Funktion sagt bereits aus, dass g(3) = 6 ist. Du brauchst also nur noch mit der gebrochen-rationalen Funktion den Grenzwert sowohl von links als auch von rechts zum Wert 3 untersuchen.
Demnach folgt folgende Gleichung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 3^-} \bruch{x^2 - 9}{x - 3} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 3^+} \bruch{x^2 - 9}{x-3} [/mm] = g(3)
Folgendes noch zur Bestimmung des Limes: Geht deine Grenze gegen 3 musst du auch 3 für x einsetzen.
Ich hoffe ich konnte helfen!
Grüße,
Ruunay
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erstmal vielen dank,
ja, hatte in der schule nie folgen und grenzwerte/stetigkeit und daher hab ich da schon meine probleme mit
also ok, nun bin ich ein wenig weiter, dennoch taucht jetzt wieder was auf, was mir auch noch rel. unklar ist, und zwar das von rechts und von links
was muss ich einsetzen wenn ichs von links bzw von rechts probiere, kann ja nicht beide male die 3 einsetzen oder ?
ich seh schon, das thema is absolutes hassthema ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Do 11.12.2008 | | Autor: | Blech |
Setz einmal [mm] $x:=3+\delta$ [/mm] und einmal [mm] $x:=3-\delta$.
[/mm]
Dabei ist delta eine positive Zahl, die Du dann gegen 0 gehen läßt. So kriegst Du einmal eine Folge von Zahlen ein bißchen größer als 3 und einmal eine ein bißchen kleiner als 3.
ciao
Stefan
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ja,
ich habe hier z.b. die funktion [mm] \limes_{x\rightarrow\{0}} \bruch{2^\bruch{1}{x}}{x}
[/mm]
und soll ebenfalls einmal von rechts und einmal von links berechnen, nur bin ich aus meinen unterlagen und bisherigem nich so ganz schlau draus geworden :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Do 11.12.2008 | | Autor: | Blech |
> ja,
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> ich habe hier z.b. die funktion [mm]\limes_{x\rightarrow\{0}} \bruch{2^\bruch{1}{x}}{x}[/mm]
>
> und soll ebenfalls einmal von rechts und einmal von links
> berechnen, nur bin ich aus meinen unterlagen und bisherigem
> nich so ganz schlau draus geworden :(
Schau Dir Zähler und Nenner getrennt an.
Von rechts geht der Zähler gegen unendlich (weil [mm] "$2^\infty$" [/mm] unendlich ist) und der Nenner gegen 0, also geht alles gegen unendlich.
Von links geht der Zähler gegen 0 [mm] ("$2^{-\infty}=\left(\frac12\right)^\infty$") [/mm] und der Nenner gegen 0, aber der Zähler geht exponentiell gegen 0 und und der Nenner linear, also sollte der Grenzwert 0 sein. (Sauberer mit der L'Hospitalschen Regel)
ciao
Stefan
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