Beweis des Tangenssatzes < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Sa 20.08.2011 | | Autor: | gr5959 |
| Aufgabe | | ((sin alpha)-(sin beta))/(sin alpha + sin beta) = (a-b)/(a+b) |
Der obige Ausdruck soll aus dem Sinussatz hervorgehen und zum Beweis des Tangenssatzes weiterführen. Mit welchem Rechenschritt kommt man vom Sinussatz (sin alpha)/(sin beta)= a/b zu dem obigen Ausdruck? G.R.
|
|
| |
|
Du willst also zeigen, dass in jedem Dreieck gilt:
[mm] $\frac{\sin (\alpha) - \sin(\beta)}{\sin (\alpha) + \sin(\beta)} [/mm] = [mm] \frac{a-b}{a+b}$
[/mm]
Hierbei ist a die Seite, die dem Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] gegenüber liegt, b die Seite, die dem Winkel [mm] $\beta$ [/mm] gegenüberliegt. (Geh ich mal von aus, da das meist so gemacht wird)
Dafür solltest du dir erstmal ein rechtwinkliges Dreieck aus deinem Dreieck basteln.
Klassischerweise wird für sowas die Höhe auf die Seite c genommen.
Drücke also sowohl [mm] $\sin(\alpha)$ [/mm] als auch [mm] $\sin(\beta)$ [/mm] mit Hilfe der Höhe auf c aus.
Dann bleibt nur noch ein wenig Bruchrechnung und es kommt genau das raus, was du haben möchtest. ;)
MfG
Schadowmaster
edit: und eine hübsche Grafik dazu von Wiki:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/9/90/Sinussatz.png
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Sa 20.08.2011 | | Autor: | gr5959 |
Danke für die schnelle Antwort!
Ich fürchte, ich habe mich nicht klar genug ausgedrückt. Ich suche nicht den Beweis für den Sinussatz, den habe ich schon. Ich habe zweimal die Höhe auf c ausgedrückt, einmal als sin alpha und einmal als sin beta, dann die beiden Ergebnisse gleichgesetzt: sin alpha * b = sin beta * a. Das aber ist nichts anderes als der Sinussatz.
Mein Problem ist vielmehr, wie man von diesem Sinussatz zu dem Ausdruck ((sin alpha)-(sin beta))/(sin alpha + sin beta) = (a-b)/(a+b) kommt.
Mag sein, dass dazu nur »ein bisschen Bruchrechnung« erforderlich ist, wie Du schreibst, aber ich komm nicht drauf, welche.
Es ist wohl so, dass mein Interesse an Mathematik umgekehrt proportional zu meiner Begabung für dieselbe ist. So habe ich mich um Hilfe an das Forum gewandt, bedanke mich für Deine Mühe, sehe mein Problem aber noch nicht gelöst. G.R.
|
|
|
| |
|
> Danke für die schnelle Antwort!
hallo,
>
> Ich fürchte, ich habe mich nicht klar genug ausgedrückt.
> Ich suche nicht den Beweis für den Sinussatz, den habe ich
> schon. Ich habe zweimal die Höhe auf c ausgedrückt,
> einmal als sin alpha und einmal als sin beta, dann die
> beiden Ergebnisse gleichgesetzt: sin alpha * b = sin beta *
> a. Das aber ist nichts anderes als der Sinussatz.
es ist einfacher von
((sin alpha)-(sin beta))/(sin alpha + sin beta) = (a-b)/(a+b)
ausgehend so zu rechnen, dass du auf den kurzen ausdruck des sinussatzes kommst. dazu über kreuz multiplizieren, zusammenfassen, alles mit [mm] sin\alpha [/mm] auf eine, alles mit [mm] sin\beta [/mm] auf die andere seite, und am ende steht er da.
umgekehrt braucht man gute ideen, um mit hilfe von "nahrhaften nullen" zum gewünschten ergebnis zu kommen
>
> Mein Problem ist vielmehr, wie man von diesem Sinussatz zu
> dem Ausdruck ((sin alpha)-(sin beta))/(sin alpha + sin
> beta) = (a-b)/(a+b) kommt.
>
> Mag sein, dass dazu nur »ein bisschen Bruchrechnung«
> erforderlich ist, wie Du schreibst, aber ich komm nicht
> drauf, welche.
>
> Es ist wohl so, dass mein Interesse an Mathematik umgekehrt
> proportional zu meiner Begabung für dieselbe ist. So habe
> ich mich um Hilfe an das Forum gewandt, bedanke mich für
> Deine Mühe, sehe mein Problem aber noch nicht gelöst.
> G.R.
>
gruß tee
|
|
|
| |
|
Ich würde von [mm]\frac{a-b}{a+b}[/mm] ausgehen und den Bruch durch [mm]b[/mm] kürzen, also
[mm]\frac{a-b}{a+b} = \frac{\frac{1}{b} \cdot \left( a - b \right)}{\frac{1}{b} \cdot \left( a + b \right)} = \frac{\frac{a}{b} - 1}{\frac{a}{b} + 1}[/mm]
Und jetzt kannst du nach dem Sinussatz [mm]\frac{a}{b}[/mm] ersetzen. Dann wieder passend erweitern.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Mo 22.08.2011 | | Autor: | gr5959 |
Ich habe eine Lösung gefunden und versuche nun, sie in einem Anhang hochzuladen. G.R.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
