Beweis einer Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Do 05.08.2004 | | Autor: | Matti66 |
Im Zusammenhang mit dem Anordnungsaxiom der reelen Zahlen tauchen Ungleichungen auf, die zu beweisen sind. So auch diese:
Erfüllt c die Bedingung [mm] a\le c\le b [/mm] und gilt a < b, so gibt es zwei eindeutig bestimmten Zahlen x und y derart, dass gilt:
c = xa + yb mit [mm] 0\le x\le 1 [/mm] , [mm] 0\le y\le 1 [/mm], x + y = 1
Ich habe hier stets das Problem keinen geeigneten Ansatz zu erkennen. Gibt es da vielleicht eine Hilfe oder ein Verfahren, wie man auf einenn Ansatz kommen kann?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Do 05.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Matti66,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Im Zusammenhang mit dem Anordnungsaxiom der reelen Zahlen
> tauchen Ungleichungen auf, die zu beweisen sind. So auch
> diese:
>
> Erfüllt c die Bedingung [mm]a\le c\le b[/mm] und gilt a < b, so
> gibt es zwei eindeutig bestimmten Zahlen x und y derart,
> dass gilt:
> c = xa + yb mit [mm]0\le x\le 1[/mm] , [mm]0\le y\le 1 [/mm], x + y = 1
>
> Ich habe hier stets das Problem keinen geeigneten Ansatz zu
> erkennen. Gibt es da vielleicht eine Hilfe oder ein
> Verfahren, wie man auf einenn Ansatz kommen kann?
Ich habe auch noch keine Lösung, aber eine geometrische Interpretation, aus der hoffentlich einer weiterdenkender Geist den richtigen Ansatz ableiten kann.
Ich nehme jetzt man an, dass [mm] $0\le [/mm] a,b$, ansonsten verschiebe man einfach beide Punkte um d auf dem Zahlenstrahl, bis a+d positiv ist.
Nun stelle man sich die Punkte (a|0) und (b|0) in einem (kartesischen) Koordinatensystem vor.
Den Punkt (b|0) drehe ich um 90°, so dass er auf dem Punkt (0|b) zu liegen kommt.
Nun frage ich mich, wo alle Punkte (xa|yb) liegen mit [mm] $0\le x,y\le [/mm] 1$ und $x+y=1$ liegen -- das sind gerade die Punkte der Strecke mit den Endpunkten (a|0) und (0|b).
Ich behaupte jetzt einfach mal, dass die gewünschten Ungleichungen/Bedingungen einfach eine Dreh-Streckung (Zentrum (a|0)) beschreiben.
Dann würde jeder Punkt der Strecke (a|0),(b|0) (also auch der Punkt (c|0)) bijektiv auf einen Punkt der Strecke (a|0),(0|0) abgebildet.
Ich habe die Sache jetzt noch nicht weiterverfolgt (weil mit die Sache einleuchtet und ich nötigenfalls x und y für konkrete Zahlen a,b,c angeben könnte).
Vielleicht bringt dich das ja schon auf die richtige Beweisfährte, falls nicht, dann melde dich bitte wieder, dann überlege ich mir was schlagkräftigeres 
Viele Grüße + Erfolg,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Do 05.08.2004 | | Autor: | Matti66 |
Das ganze muss ich mir erst einmal durch den Kopf gehen lassen und mir das auch zeichnerisch etwas veranschaulichen.
Denke aber mal, dass das nicht der Beweis ist, den der soll sich nur auf die Anordnungsaxiome stützen.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Do 05.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Matti66,
> Das ganze muss ich mir erst einmal durch den Kopf gehen
> lassen und mir das auch zeichnerisch etwas
> veranschaulichen.
> Denke aber mal, dass das nicht der Beweis ist, den der soll
> sich nur auf die Anordnungsaxiome stützen.
Klar. Aber eine geometrischen Veranschaulichung/Interpretation kann dabei helfen, die richtige Beweisidee zu bekommen, und das ist ja dein eigentliches Problem gewesen.
Könntest du bitte noch die Anordnungsaxiome posten (wenn es nicht zu viele sind), ich kann mir gerade nicht viel darunter vorstellen bzw. nur etwas, was einem nicht beim Beweis der Aufgabe hilft.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Matti66 |
Hallo!
Also mit diesem geometrischen Ansatz kann ich leider wenig anfangen. Die Zur Verfügung stehenden Axiome habe ich schon gepostet.
Es muss einfach eine Möglichkeit geben, aus diesen Bedingungen die Ungleichung herzuleiten. Ein Mitstreiter hatte eine Ansatz, aber der brachte mich nur zu negativen x-Werten, es sei denn, ich habe da was übersehen.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:03 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Matti66!
> Also mit diesem geometrischen Ansatz kann ich leider wenig
> anfangen. Die Zur Verfügung stehenden Axiome habe ich schon
> gepostet.
Dann vergiß' diesen Ansatz.
> Es muss einfach eine Möglichkeit geben, aus diesen
> Bedingungen die Ungleichung herzuleiten. Ein Mitstreiter
> hatte eine Ansatz, aber der brachte mich nur zu negativen
> x-Werten, es sei denn, ich habe da was übersehen.
Die Aufgabe ist aber doch schon gelöst, SirJective hat einen richtigen Ansatz gepostet und auch gesagt, was noch zu zeigen ist. Das folgt aber unmittelbar aus den von dir geposteten Axiomen, ich werde gleich direkt auf den Artikel mit den Axiomen antworten.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
Hallo Matti,
> Im Zusammenhang mit dem Anordnungsaxiom der reelen Zahlen
> tauchen Ungleichungen auf, die zu beweisen sind. So auch
> diese:
>
> Erfüllt c die Bedingung [mm]a\le c\le b[/mm] und gilt a < b, so
> gibt es zwei eindeutig bestimmten Zahlen x und y derart,
> dass gilt:
> c = xa + yb mit [mm]0\le x\le 1[/mm] , [mm]0\le y\le 1 [/mm], x + y = 1
>
> Ich habe hier stets das Problem keinen geeigneten Ansatz zu
> erkennen. Gibt es da vielleicht eine Hilfe oder ein
> Verfahren, wie man auf einenn Ansatz kommen kann?
Meine erste Idee ist folgende: Da x+y=1 sein soll, kann man ja y durch x ausdrücken: y=1-x.
Damit suchen wir also eine Darstellung der Form
c = xa + (1-x)b = b + x(a-b)
Da c, a und b vorgegebene Größen sind, und a-b nicht 0 ist, kannst du diese Gleichung nach x auflösen. Dieser x-Wert mit dem y-Wert y = 1-x sind die einzigen, die die Bedingungen überhaupt erfüllen können.
Bis hier haben wir von den Anordnungsaxiomen nur benutzt, dass aus a<b folgt a-b [mm] \ne [/mm] 0, der Rest war einfaches Umstellen.
Nun bleibt noch zu zeigen, dass die so gefundenen Werte von x und y auch die anderen beiden Bedingungen erfüllen, dass also [mm]0\le x\le 1[/mm] , [mm]0\le y\le 1 [/mm] erfüllt ist.
Und dafür brauchst du nun weitere Anordnungsaxiome, die du uns so geben müsstest, wie du sie kennengelernt hast.
Gruss,
SirJective
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Matti66 |
Hallo
Ist es nicht so, dass aus a < b folgt a- b < 0?
Damit würde die Gleichung, wenn man sie nach x auflöst doch stets ein negatives x erbringen!
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Josef |
> Ist es nicht so, dass aus a < b folgt a- b < 0?
> Damit würde die Gleichung, wenn man sie nach x auflöst
> doch stets ein negatives x erbringen!
Ja. Ich stimme dir zu.
Wenn x und y zwei Zahlen in R sind, so gilt:
x > y , wenn x-y positiv ist:
ist jedoch x-y negativ, dann gilt:
x < y,
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Matti66 |
Das läuft doch der Bedingung zuwider, das [mm] 0\le x\le 1 [/mm]!
Damit wäre ich wieder bei meinem Anfangsproblem oder habe ich was übersehen?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:48 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Matti66!
> Ist es nicht so, dass aus a < b folgt a- b < 0?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Damit würde die Gleichung, wenn man sie nach x auflöst
> doch stets ein negatives x erbringen!
Welche Gleichung meinst du denn eigentlich?
Diese hier: c = b + x(a-b)
Nach x aufgelöst lautet sie: x = (c-b) / (a-b)
Sowohl Zähler, als auch Nenner sind negativ, so dass der Bruch insgesamt positiv ist.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Matti66 |
Beim Beweis der Ungleichung kommen nur folgende Axiome zur Anwendung:
1. Entweder gilt a= b oder a < b oder b < a
2. Aus a < b und b < c folgt a < c
3. Aus a < b folgt a + c < b + c
4. Aus a < b und 0 < c folgt ac < bc
Hier bei kann < durch [mm] \le [/mm] ersetzt werden.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:15 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Matti66!
> 1. Entweder gilt a= b oder a < b oder b < a
> 2. Aus a < b und b < c folgt a < c
> 3. Aus a < b folgt a + c < b + c
> 4. Aus a < b und 0 < c folgt ac < bc
>
> Hier bei kann < durch [mm]\le[/mm] ersetzt werden.
SirJective hat hier den richtigen Ansatz vorgestellt.
x = (c-b) / (a-b)
y = 1-x
Es blieb noch zu zeigen, dass
a) [mm] $0\le [/mm] x$
b) [mm] $x\le [/mm] 1$
c) [mm] $0\le [/mm] y$
d) [mm] $y\le [/mm] 1$
ad a)
Es gilt:
[mm] $c\le [/mm] b$ mit 3. gilt
[mm] $\Rightarrow\$ $c-c\le [/mm] b-c$
[mm] $\Rightarrow\$ $0\le [/mm] b-c$ mit 4. und analoger Überlegungen für $0<b-a$ multipliziere ich mit [mm] $\bruch{1}{b-a}$, $0<\bruch{1}{b-a}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\$ $0\le \bruch{b-c}{b-a}=\bruch{c-b}{a-b}=x$
[/mm]
ad b)
Das und c) und d) sollte ich vielleicht besser dir zur Übung überlassen 
Viel Erfolg,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Matti66 |
Ich stelle hier mal meine Lösung vor.
1.Aus x + y = 1 folgt y = 1-x
2.Aus c = xa+yb folgt mit 1. c = b + x(a - b)
3.Aus 2. folgt [mm] \bruch {c-b}{a-b} = x [/mm]
Damit ist x und wegen 1 auch y eindeutig bestimmt.
Aus y = 1 - x folgt [mm] \ x\le 1 [/mm]
Aus c - b folgt mit [mm] \ c\le b [/mm] [mm] \ c - b\le 0 [/mm]
Mit 3. und [mm] \ c - b\le 0 [/mm] folgt [mm] \ x\le 0 [/mm] , da für
a - b aus a < b stets a - b < 0 folgt.
Damit gilt [mm]\ 0\le x\le 1 [/mm]
Der Beweis für y ginge analog.
Ich hoffe nur der Ansatz ist nicht zu unmathematisch.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Di 10.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Matti66,
> Ich stelle hier mal meine Lösung vor.
Sehr gut.
> 1.Aus x + y = 1 folgt y = 1-x
> 2.Aus c = xa+yb folgt mit 1. c = b + x(a - b)
> 3.Aus 2. folgt [mm]\bruch {c-b}{a-b} = x[/mm]
> Damit ist x und wegen 1 auch y eindeutig bestimmt.
> Aus y = 1 - x folgt [mm]\ x\le 1[/mm]
Das sehe ich nicht bzw. es folgt nicht nur aus "y=1-x". Z.B. könnte doch y=-1 und x=2 sein.
> Aus c - b folgt mit [mm]\ c\le b[/mm]
c-b ist keine Aussage deswegen kann daraus auch nichts folgen.
Meinst du das: "Aus [mm] $c\le [/mm] b$ folgt [mm] $c-a\le0$".
[/mm]
Oder du könntest schreiben: "Für c-b folgt mit..."
Aber das sind nur Kleinigkeiten, aber vielleicht decken sie doch einen Denkfehler deinerseits auf.
> [mm]\ c - b\le 0[/mm]
> Mit 3. und [mm]\ c - b\le 0[/mm] folgt [mm]\ x\le 0[/mm] , da
> für
> a - b aus a < b stets a - b < 0 folgt.
Das sehe ich zwar ein, aber das folgt doch nicht so nur durch Anwenden der Axiome.
Das ist schon fast ein eigenes Lemma wert: [mm] $a\le [/mm] 0,b<0\ [mm] \Rightarrow\ \bruch{a}{b}\ge [/mm] 0$.
Da du ja selbst streng auf die Anwendung der Axiome gepocht hast, müßtest du das hier noch deutlicher herausstellen.
> Damit gilt [mm]\ 0\le x\le 1[/mm]
>
> Der Beweis für y ginge analog.
Ja, es folgt aber auch recht schnell aus [mm] $0\le x\le [/mm] 1, y=1-x$, zur Übung würde ich das an deiner Stelle mal versuchen.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Matti66 |
Hallo!
Ja, ich hätte mich hier wohl mehr an die Axiome halten müssen. Deshalb ein neuer Versuch.
Ich gehe davon aus, dass $ x = [mm] \bruch{c - b}{a - b} [/mm] $
Jetzt gilt es zu beweisen, dass $ [mm] 0\le x\le [/mm] 1 $ ist!
1. $ [mm] c\le [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] c - [mm] b\le [/mm] b - b [mm] \Rightarrow [/mm] c - [mm] b\le [/mm] 0 $
2. [mm] a < b \Rightarrow a - b < b - b \Rightarrow a - b < 0 \Rightarrow
\bruch {1}{a - b} < 0 [/mm]
Aus Axiom 4 lässt sich ableiten, dass die Multiplikation mit einer negativen Zahl das Relationszeichen ändern. Damit folgt aus
$ c - [mm] b\le [/mm] 0 $ und multiplikation mit $ [mm] \bruch [/mm] {1}{a - b} $
$ [mm] \bruch [/mm] {c -b}{a [mm] -b}\ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x\ge [/mm] 0 $
Aus $ [mm] a\le [/mm] c [mm] \Rightarrow [/mm] a - [mm] b\le [/mm] c - b $
Multplikation mit $ [mm] \bruch [/mm] {1}{a - b} $ ergibt $ [mm] 1\ge \bruch{c - b}{a - b} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow 1\ge [/mm] x $
Damit folgt insgesamt $ [mm] 0\le x\le [/mm] 1 $
Ich poste jetzt nur mal den Teil für x!
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Do 12.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Matti66!
> Ich gehe davon aus, dass [mm]x = \bruch{c - b}{a - b}[/mm]
>
> Jetzt gilt es zu beweisen, dass [mm]0\le x\le 1[/mm] ist!
(Den Teil [mm] $0\le [/mm] x$ hatte ich hier bereits bewiesen.)
> 1. [mm]c\le b \Rightarrow c - b\le b - b \Rightarrow c - b\le 0[/mm]
> 2. [mm]a < b \Rightarrow a - b < b - b \Rightarrow a - b < 0 \Rightarrow \bruch {1}{a - b} < 0[/mm]
> Aus Axiom 4 lässt sich ableiten, dass die Multiplikation
> mit einer negativen Zahl das Relationszeichen ändern.
Um das zu zeigen, braucht man meiner Meinung nach auch Axiom 3, jedenfalls sehe ich nicht, dass es aus Axiom 4 direkt folgt.
> Damit
> folgt aus
>
> [mm]c - b\le 0[/mm] und multiplikation mit [mm]\bruch {1}{a - b}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch {c -b}{a -b}\ge 0 \Rightarrow x\ge 0[/mm]
> Aus [mm]a\le c \Rightarrow a - b\le c - b[/mm]
> Multplikation mit
> [mm]\bruch {1}{a - b}[/mm] ergibt [mm]1\ge \bruch{c - b}{a - b}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 1\ge x[/mm]
, sehr schön.
> Damit folgt insgesamt [mm]0\le x\le 1[/mm]
> Ich poste jetzt nur mal den Teil für x!
Klar.
Mit dieser Lösung darf ich doch jetzt annehmen, dass du Anwendung der Ordnungsaxiome verstanden hast, oder?
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Di 17.08.2004 | | Autor: | Matti66 |
Ich badanke mich ausdrücklich!
Hat mir viel gebracht.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Fr 06.08.2004 | | Autor: | hugo |
Wenn alle Eigenschaften der reellen Zahlen benutzt werden dürfen,
ist ein Ansatz für die Aufgabe
f: [0,1] --> R, f(x) = (1-x) a + xb.
Sie hat die Eigenschaften f(0) = a und f(1) = b, nach dem Zwischenwertsatz muß es also eine Zahl t geben mit f(t) = c.
(Man braucht hierfür nicht unbedingt den Zwischenwertsatz,
sondern kann die Zahl t einfach ausrechnen: t = (c-a)/(b-a).)
Wegen 0 < c-a < b-a folgt a < c < b.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Matti66 |
Halle!
Natürlich dürfen auch alle Körpereigenschaften von R ausgenutzt werden. Aber es sollte eine Lösung existieren, die nur mit den geposteten Anordnungsaxiomen auskommt.
Gruß
|
|
|
|
