Beweis einer Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Di 28.03.2006 | | Autor: | MaKru |
| Aufgabe | | Zeigen Sie für alle n [mm] \in \IN [/mm] die Ungleichung (1 - [mm] 1/n)^n [/mm] < (1 - 1/(n+1))^(n+1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und kämpfe im Rahmen von Mathematik II für Informatiker mit folgender Aufgabe:
Zeigen Sie für alle n [mm] \in \IN [/mm] die Ungleichung (1 - [mm] 1/n)^n [/mm] < (1 - 1/(n+1))^(n+1)
Nun weiß ich nicht einmal, unter welcher Überschrift dieses Posting richtig eingeordnet wäre. Ich habe bisher zwei vergebliche Ansätze verfolgt:
1) Wenn (1 - 1/n) < (1 - 1/(n+1))^(n+1) gilt, darf nicht gelten 0 = (1 - 1/(n+1))^(n+1) - (1 - 1/n). Ich habe das angenommen und versucht, einen Widerspruch herzuleiten. Dabei ende ich allerdings mit (n + 1) / n = [mm] (n^2 [/mm] / [mm] (n^2 -1))^n, [/mm] was weit entfernt ist von einem klaren Widerspruch.
2) Ich habe versucht, eine untere Abschätzung des rechten Terms (1 - 1/(n+1))^(n+1) zu finden und zu zeigen, dass diese Abschätzung immer größer bleiben wird als der linke Term(1 - [mm] 1/n)^n. [/mm] So habe ich (1 - 1/(n+1)) nach unten abgeschätzt durch (1 - 1/n), so dass gilt (1 - [mm] 1/n)^n [/mm] < (1 - [mm] 1/(n+1))^n [/mm] - das Problem eines (n+1) für die beiden Terme habe ich gar nicht erst weiter verfolgt, weil meine untere Abschätzung zugleich die untere Abschätzung des linken Terms (1 - 1/n) zu sein scheint und auf gar keinen Fall dessen obere Schranke sein kann.
So wie ich das sehe, haben beide Terme (als Folgen betrachtet) den gleichen Grenzwert, so dass der erste Ansatz eigentlich fruchten müsste, denn eine klitzekleine Differenz würde ich immer erwarten.
Ganz zum Schluss habe ich dann auch nochmal stumpf eine Induktion versucht (mit der ich beim ersten blauäugigen Rangehen bereits gescheitert bin), die allerdings auch keinen Erfolg brachte.
Für den Fall, dass jemand eine Idee hat und mir diese mitteilen mag - ich wäre zu höchstem Dank verpflichtet!
Grüße von
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Di 28.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Christian,
da kommt an geeigneter Stelle die Bernoullische Ungleichung ins Geschäft, aber so en detail habe ich das jetzt nicht präsent. Ich weiß aber genau, daß ich das schon mal an der Tafel vorgeführt habe  .
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo,
also meiner Ansicht nach, kannst Du mit dem Grenzwert nicht argumentieren, solange Du nicht zeigen kannst, dass die Folge streng monoton fallend ist. Das würde aber schon direkt (ohne den Grenzwert) deine Aufgabe lösen.
Ich würde folgenden Weg gehen, Du kannst alles Umformen, bis zu zeigen bleibt: [mm] $\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n<1-\frac{1}{n+1}$.
[/mm]
Das kann man per Induktion zeigen (über zwei Abschätzungen). Daraus folgt dann die Behauptung.
--
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 28.03.2006 | | Autor: | MaKru |
| Aufgabe | | Nach Matthias' vorzüglicher Idee: Zeigen Sie für alle n [mm] \in \IN [/mm] die Ungleichung (1- [mm] 1/(n^2))^n [/mm] < 1 - 1/(n+1) |
Hallo zusammen!
Zuersteinmal danke ich Matthias für seinen Ansatz, ohne diese Idee hätte ich sicher (je nach Zeit) weitere vergebliche Seiten vollgeschrieben. Ich bin Matthias' Ansatz gefolgt und stecke nun vermutlich nur noch an einer Formulierungsschwierigkeit.
Mir ist eingebläut worden: Jede Induktion, die Ihre Voraussetzung nicht nutzt, ist falsch. Und das genau passiert mir:
Anfang: n = 1 für (1 - [mm] 1/n^2) [/mm] ^n < 1 - 1 / (n + 1)
[mm] (1-1)^1 [/mm] = 0 < 1 / 2
Voraussetzung: (1 - [mm] 1/n^2)^n [/mm] < 1 -1/(n+1)
Schritt: (1 - [mm] 1/(n+1)^2)^{n+1} [/mm] < 1 -1/((n+1)+1)
[mm] (1-1/(n+1)^2)^n [/mm] * [mm] (1-1/(n+1)^2) [/mm] < 1 - 1/(n+2)
mit Bernoullie ist [mm] (1-1/(n+1)^2)^n [/mm] >= 1 - [mm] n/(n+1)^2, [/mm] also
(1 - [mm] n/(n+1)^2) [/mm] * [mm] (1-1/(n+1)^2) [/mm] < 1 - 1/(n+2)
Irgendwo hier müsste doch jetzt die Voraussetzung greifen - wenn ich mich nicht schon bis hierher vertan habe. Leider sind ja die beiden abgezogenen Brüche [mm] n/(n+1)^2 [/mm] und [mm] 1/(n+1)^2 [/mm] links des < beide kleiner als der rechte 1/(n+2), so dass die beiden Faktoren zwar größer 0 aber eben nicht kleiner als 1 - 1/(n+2) sind.
Ich habe an dieser Stelle den Eindruck, wieder am Anfang zu stehen oder Matthias schlichtweg falsch verstanden zu haben. Er sprach davon, dass ich mit zwei Abschätzungen in einem Induktionsbeweis das Ziel erreichen müsste. Mit der Induktion scheint es zu hapern und von den Abschätzungen bringe ich nur eine zu Wege. Womit blamiere ich mich jetzt nur wieder?
Grüße von
Christian
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Hallo,
die Idee mit dem Bernoulli ist mir garnicht gekommen, also wenn Du das direkt zeigst, indem Du Bernoulli anwendest und ohne Induktion auskommst, kannst Du getrost ignorieren, dass Du deine Voraussetzung nicht verwendest. Denn was Du im Prinzip gemacht hast, ist für $n+1$ es direkt zu Zeigen. Das gleiche hättest Du mittels Bernoulli auch für $n$ machen können und hättest dann die Ungleichung direkt gezeigt.
--
Gruß
Matthias
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