Beweis einer cos/i sin - Gleic < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Fr 08.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
| Aufgabe | | (cos a + i*sin [mm] a)^n [/mm] = cos (n a) + i sin (n a) für nN |
a = alpha, wollte nicht die Zeichen raussuchen.
Meiner Meinung nach lösbar mit der Formel [mm] z^n=|a| [/mm] * (cos alpha + i sin alpha) = nte Wurzel (|a|)[cos (alpha/n + k*2pi/n) + i sin (alpha/n + k*2n/n)], soll als Vorbereitung zum Abi bewiesen werden... Kennt sich jemand damit aus? Liege ich richtig, oder bin ich aufm Holzweg? Habe bis Montag Zeit, für Hilfe bin ich sehr dankbar :)
Lg
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Also diese Gleichung ist die von Moivre.
Der Beweis läuft über induktion:
Induktionsanfang:
zuerst zeigst du, dass diese gleichung für n=1.
n=1 ist trivial: [mm] (cosx+isinx)^1=cos(1*x)+isin(1*x)
[/mm]
Induktionsannahme:
Jetzt nehmen wir an, dass die Aussage
(A) [mm] (cosx+i*sinx)^n=cos(n*x)+i*sin(n*x)
[/mm]
für alle [mm] n
Induktionsschritt: n==>n+1
[mm] (cosx+i*sinx)^{n+1}=(cosx+i*sinx)*(cosx+i*sinx)^{n}
[/mm]
Jetzt verwenden wir die induktionsannahme (A) und erhalten
=(cosx+i*sinx)*(cos(n*x)+i*sin(n*x))
=cosx*cos(n*x)-sinx*sin(n*x)+i(sinx*cos(nx)+cosx*sin(nx))
Jetzt muss man nur noch die Additionstheoreme
cos(x+y)=cosx*cosy-sinx*siny
sin(x+y)=sinx*cosy+cosx*siny
. Mit x=x und y=n*x erhalten wir
[mm] (cosx+i*sinx)^{n+1}=cos(x+nx)+i*sin(x+nx)
[/mm]
=cos[(n+1)x]+i*sin[(n+1)x]
Damit wäre gezeigt, dass dieser Satz für alle beliebigen n gilt.
Ich hoffe der Beweis hat dir geholfen.
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