Beweis für Rechenregel von Me < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | | [mm] X\backslash (M_{1}\cap M_{2}) [/mm] = [mm] (X\backslash M_{1})\cup(X \backslash M_{2}) [/mm] |
Hallo liebe Leute,
ich bin am verzweifeln,
ich muss die Rechenregel beweisen.
weiss echt nicht wie ich virgehen soll
ich hoffe ihr könnt mir helfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Sorry, hatte gerade einen Denkfehler; hab meinen Betrag mal editiert
Du musst den Beweis wie folgt führen, am besten malst du dir die Mengen mal auf:
Sei [mm]x \in X\backslash (M_{1}\cap M_{2}) \gdw x\in X \wedge (x \not\in M_{1} \vee x\not\in M_{2}) \gdw (x \in X \wedge x \not\in M_{1}) \vee (x \in X \wedge x \not\in M_{2})[/mm]
Die andere Richtung schaffst alleine :)
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Balsam |
ich löse einfach die klammer auf
aber ich weiss nicht was ich mit der [mm] \cup [/mm] machen soll
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Balsam |
wenn ich das ausklammere
wie komme ich von [mm] \cap [/mm] zum [mm] \cup
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Hatte gerade einen Denkfehler drin in meiner Überlegung, mach es mal wie folgt:
" [mm] \Rightarrow [/mm] "
$ x [mm] \in X\backslash (M_{1}\cap M_{2}) \gdw x\in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in M_{1} \vee x\not\in M_{2}) \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in M_{1}) \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in M_{2}) \gdw [/mm] x [mm] \in (X\backslash M_{1})\cup(X \backslash M_{2}) [/mm] $
Jetzt fehlt noch
" [mm] \Leftarrow [/mm] "
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Balsam |
so ähnlich hatte ich es auch, nur mit paar fehlern,
aber was meinst du mit dem fehlt [mm] noch\Leftarrow?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Da eine Äquivalenz ( [mm] \gdw [/mm] bzw. =) vorliegt musst du natürlich auch zeigen dass aus [mm](X\backslash M_{1})\cup(X \backslash M_{2}) \Rightarrow X \backslash (M_{1}\cap M_{2}) [/mm] folgt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Balsam |
okay danke erst einmal für die schritte
die andere seite habe ich zwarversucht bezweifel jedoch dass es richihtg ist also:
x [mm] \in X\backslash [/mm] (M1) [mm] \wedge [/mm] (M2)
[mm] \gdw x\in [/mm] X [mm] \wedge (x\not\in [/mm] M1 [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] M2)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
> x [mm]\in X\backslash[/mm] (M1) [mm]\wedge[/mm] (M2)
> [mm]\gdw x\in[/mm] X [mm]\wedge (x\not\in[/mm] M1 [mm]\vee[/mm] x [mm]\not\in[/mm] M2)
das habe ich dir doch schon gezeigt, du musst bei [mm](X\backslash M_{1})\cup(X \backslash M_{2})[/mm] anfangen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Balsam |
Ich weiss einfach nicht wie ich bei dem vorgehen soll.
da ist mir ein X zu viel...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Ich gebe dir den Anfang vor, den Rest musst aber wirklich alleine machen. Ich kann dir ja nicht deine Aufgabe lösen ;)
[mm](x\in X \wedge x\not\in M_{1}) \vee (x\in X \wedge x\not\in M_{2}) \gdw ...[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Balsam |
ist das dann so richtig ?
x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] M1 [mm] \wedge \not\in [/mm] M2
[mm] \gdw X\backslash [/mm] (M1 [mm] \cap [/mm] M2)
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Hallo,
> ist das dann so richtig ?
>
> x [mm]\in[/mm] X [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] M1 [mm]\wedge \not\in[/mm] M2 [mm]\gdw X\backslash[/mm] (M1 [mm]\cap[/mm] M2)
Uiuiui, Kraut und Rüben!
Linkerhand steht eine Aussage, rechts eine Menge.
Dazwischen herrscht keine Äquivalenz!!!
Außerdem solltest du die Regeln von de Morgan beachten: besser rechterhand [mm]x\in X\setminus (M_1\red{\cup} M_2)[/mm]
Wieso du eine "Rückrichtung überhaupt machen willst/sollst, ist mir auch unklar.
Die Richtung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ist doch mit lauter Äquivalenzumformungen gemacht worden, wenn ich das richtig überflogen habe.
Das war also schon alles: [mm] $\gdw$ [/mm] - beide Richtungen in einem.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Balsam |
also meinst es reicht, wenn ich es wie im vorigen beitrag von Lyrn "ausgeschrieben" habe?
nur das wäre der beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
ja er hat Recht, war ein Fehler meinerseits. hab das mit der Beweisführung bei einer Implikation verwechselt (da brauchst du beide Richtungen).
also es reicht wenn du $ x [mm] \in X\backslash (M_{1}\cap M_{2}) \gdw x\in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in M_{1} \vee x\not\in M_{2}) \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in M_{1}) \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in M_{2}) \gdw [/mm] x [mm] \in (X\backslash M_{1})\cup(X \backslash M_{2}) [/mm] $
als Beweis nimmst
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Balsam |
Das hat mich sehr verwirrt aber jetzt leuchtet mir das ein.
Jedoch frage ich mich nun was sich ändert wenn man [mm] \cap [/mm] mit [mm] \cup [/mm] vertauscht.
Würde der Beweis genauso sein?
oder was würde sich verändern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
> Das hat mich sehr verwirrt aber jetzt leuchtet mir das
> ein.
>
> Jedoch frage ich mich nun was sich ändert wenn man [mm]\cap[/mm]
> mit [mm]\cup[/mm] vertauscht.
> Würde der Beweis genauso sein?
Die Beweisführung wär die gleiche, jedoch müsstest du halt gucken welche Konjunktoren du verwendest. Am leichtesten siehst du es wenn du dir ein Bild malst, wo in der Mitte X liegt, welches von M1 und M2 geschnitten wird (dabei schneiden sich auch M1 und M2 an einer Stelle)
Nochmal zu der Stelle wo du den Fehler gemacht hast:
(x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in M_{1}) \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in M_{2}) \gdw [/mm] x [mm] \in (X\backslash M_{1})\cup(X \backslash M_{2})
[/mm]
Also auf der linken Seite stehen die x [mm] \in [/mm] X die nicht in [mm] M_{1} [/mm] oder nicht in [mm] M_{2} [/mm] liegen.
Jetzt musst du dir überlegen wie solch eine Menge aussehen könnte: Es sind die x, die in [mm] (X\backslash M_{1})\cup(X \backslash M_{2}) [/mm] liegen.
Hoffe es ist jetzt einigermaßen klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Balsam |
danke erstmal für die ausführliche erklärung.
nun habe ich es wirklich verstanden,
aber reicht es für den beweis?
Und bei der umkehrung von [mm] \cup [/mm] und [mm] \cap
[/mm]
würde man dann das [mm] \vee [/mm] mit dem [mm] \wedge [/mm] vertauschen?
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Hallo nochmal,
> danke erstmal für die ausführliche erklärung.
> nun habe ich es wirklich verstanden,
> aber reicht es für den beweis?
Ja, der steht oben, schreibe als Begründung für das "Vertauschen" dran: "nach de Morgan"
>
> Und bei der umkehrung von [mm]\cup[/mm] und [mm]\cap[/mm]
> würde man dann das [mm]\vee[/mm] mit dem [mm]\wedge[/mm] vertauschen?
Ja. Wie gesagt, schaue dir die de Morganschen Regeln an, die gelten auf Mengen- und auch auf Aussageebene.
Aussageebene: [mm]\neg(p\wedge q) \ \equiv \ \neg p\vee \neg q[/mm]
ebenso [mm]\neg(p\vee q) \ \equiv \ \neg p\wedge \neg q[/mm]
Mengenebene: (Komplementbildung mit [mm]\overline A[/mm] oder [mm]A^C[/mm] - je nachdem, wie ihr das geschrieben habt)
[mm]\overline{(A\cup B)}=\overline{A}\cap\overline{B}[/mm]
ebenso [mm]\overline{(A\cap B)}=\overline A\cup\overline B[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Balsam |
Vielen Vielen Dank euch beiden
Es hat mir sehr viel geholfen, sonst hätte ich es überhaupt nicht verstanden...
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