Beweis globales Maximum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Das relle Polynom p habe im Nullpunkt den Wert p(0) = 1. Beweisen Sie, dass die durch f(x) = [mm] p(x)*e^{-|x|} [/mm] definierte Funktion [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] an mindestens einer Stelle ihr globales Maximum annimmt. |
Ok, habe zunächst die erste Ableitung berechnet:
[mm] \bruch{p'(x)e^{|x|}-p(x)e^{|x|}sign(x)}{(e^{|x|})^{2}}
[/mm]
f(0) = 1, f'(x) = 0 [mm] \gdw [/mm] p'(x) = p(x) * sign(x) [mm] \Rightarrow [/mm] p'(0) = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(0) = 0.
Nun weiß ich leider nicht wie ich zeigen kann, das es sich hierbei tatsächlich um ein Maximum handelt und schon gar nicht wie ich zeigen kann das es ein globales Maximum ist. Man müsste ja zeigen, dass f'(x) < 0 für alle x [mm] \in (0,\infty) [/mm] und f'(x) > 0 für alle x [mm] \in (-\infty, [/mm] 0). Ich weiß das die Ableitung einer geraden Funktion ungerade ist und die Ableitung einer ungearden Funktion gerade. Aber inwiefern bringt mir das hier etwas? Hoffe ihr könnt mir helfen.
LG Loriot95
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Hi,
> Das relle Polynom p habe im Nullpunkt den Wert p(0) = 1.
> Beweisen Sie, dass die durch f(x) = [mm]p(x)*e^{-|x|}[/mm]
> definierte Funktion [mm]f:\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] an mindestens einer Stelle
> ihr globales Maximum annimmt.
> Ok, habe zunächst die erste Ableitung berechnet:
>
> [mm]\bruch{p'(x)e^{|x|}-p(x)e^{|x|}sign(x)}{(e^{|x|})^{2}}[/mm]
>
> f(0) = 1, f'(x) = 0 [mm]\gdw[/mm] p'(x) = p(x) * sign(x) [mm]\Rightarrow[/mm]
> p'(0) = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] f'(0) = 0.
Was passiert denn hier?
Unter keinen Umständen muss ein globales Maximum bei 0 liegen.
Du hast richtig erkannt f(0)=1, aber betrachte nun [mm] p(x)=x^3+1. [/mm] Dann ist [mm] f(2)=(2^3+1)e^{-2}=\frac{9}{e^2}>1.
[/mm]
Hier soll nur gezeigt werden, dass das globale Maximum tatsächlich angenommen wird.
Dass die Funktion nach oben beschränkt ist, sollte klar sein (exponentielles Wachstum 'schlägt' polynomielles). Also gibt es auf jeden Fall ein Supremum. Du musst zeigen, dass die Funktion den Wert des Supremums tatsächlich annimmt.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Fr 04.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das relle Polynom p habe im Nullpunkt den Wert p(0) = 1.
> Beweisen Sie, dass die durch f(x) = [mm]p(x)*e^{-|x|}[/mm]
> definierte Funktion [mm]f:\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] an mindestens einer Stelle
> ihr globales Maximum annimmt.
> Ok, habe zunächst die erste Ableitung berechnet:
Das lass mal lieber ! [mm] e^{|x|} [/mm] ist nicht differenzierbar in 0 !!!
>
> [mm]\bruch{p'(x)e^{|x|}-p(x)e^{|x|}sign(x)}{(e^{|x|})^{2}}[/mm]
>
> f(0) = 1, f'(x) = 0 [mm]\gdw[/mm] p'(x) = p(x) * sign(x) [mm]\Rightarrow[/mm]
> p'(0) = 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] f'(0) = 0.
>
> Nun weiß ich leider nicht wie ich zeigen kann, das es sich
> hierbei tatsächlich um ein Maximum handelt und schon gar
> nicht wie ich zeigen kann das es ein globales Maximum ist.
> Man müsste ja zeigen, dass f'(x) < 0 für alle x [mm]\in (0,\infty)[/mm]
> und f'(x) > 0 für alle x [mm]\in (-\infty,[/mm] 0). Ich weiß das
> die Ableitung einer geraden Funktion ungerade ist und die
> Ableitung einer ungearden Funktion gerade. Aber inwiefern
> bringt mir das hier etwas? Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> LG Loriot95
Mach Dir klar:
1. f(x) [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to \pm \infty
[/mm]
2. aus 1. folgt: es gibt ein R>0 mit : |f(x)|<1 für |x|>R
3. es gibt ein [mm] x_0 \in [/mm] [-R,R] mit f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] [-R,R] (warum ?)
4. aus f(0)=p(0)=1 , aus 2. und aus 3. ergibt sich:
f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
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>
> Mach Dir klar:
>
> 1. f(x) [mm]\to[/mm] 0 für x [mm]\to \pm \infty[/mm]
>
> 2. aus 1. folgt: es gibt ein R>0 mit : |f(x)|<1 für
> |x|>R
>
> 3. es gibt ein [mm]x_0 \in[/mm] [-R,R] mit f(x) [mm]\le f(x_0)[/mm] für
> jedes x [mm]\in[/mm] [-R,R] (warum ?)
Da in [-R,R] die Funktion durch 1 nach oben beschränkt ist.
> 4. aus f(0)=p(0)=1 , aus 2. und aus 3. ergibt sich:
>
> f(x) [mm]\le f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
heißt das nun, dass selbst der größtmöglichste Funktionswert kleiner gleich 1 sein muss? Und damit f(0) = 1 ein globales Maximum ist?
> FRED
LG Loriot95
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Hallo,
> >
> >
> > Mach Dir klar:
> >
> > 1. f(x) [mm]\to[/mm] 0 für x [mm]\to \pm \infty[/mm]
> >
> > 2. aus 1. folgt: es gibt ein R>0 mit : |f(x)|<1 für
> > |x|>R
> >
> > 3. es gibt ein [mm]x_0 \in[/mm] [-R,R] mit f(x) [mm]\le f(x_0)[/mm] für
> > jedes x [mm]\in[/mm] [-R,R] (warum ?)
> Da in [-R,R] die Funktion durch 1 nach oben beschränkt
> ist.
Das ist falsch. Wie wäre es mit einer Portion Stetigkeit bei der Argumentation?
> > 4. aus f(0)=p(0)=1 , aus 2. und aus 3. ergibt sich:
> >
> > f(x) [mm]\le f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> heißt das nun,
> dass selbst der größtmöglichste Funktionswert kleiner
> gleich 1 sein muss? Und damit f(0) = 1 ein globales Maximum
> ist?
Nein, das ist nicht die Aussage.
Lies dir das nochmal konzentriert durch. Man braucht f(0) = 1 nur, um sicher gehen zu können, dass das Maximum in [...] liegt (weil man ja weiß, dass alle Werte von f außerhalb von [...] kleiner als 1 sind)
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ich denke ich habe es nun verstanden. Danke schön :)
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