Beweis in der Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Fr 03.09.2004 | | Autor: | Karamalz |
Hallo!
Ich würde mich freuen, wenn mir einer von euch beim lösen des folgenden Problems behilflich sein könnte!
Wir haben gerade mit der Integralrechnung begonnen und sollen beweisen, dass der Flächeninhalt unter einer Funktion [mm] f(x)=x^z [/mm] gleich F(b,z)=(b^(z+1))/z+1 (...oder so ähnlich!?! Bitte um Hilfe!) ist.
Danke schonmal an die, die mir helfen können (und wollen!)
Flo
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Hallo, Karamalz.
Die Fläche unter der Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] kann ja - wie du sicher weißt - mit Hilfe des Integrals berechnet werden. Wobei die Integrationsgrenzen noch offen sind (vielleicht noch angeben). Die Integralsfunktion F(x) gibt die Fläche unter dem Graphen der Funktion f an. Berechnen wir also zunächst das Integral
[mm] F(x)=\integral x^2\, [/mm] dx [mm] =\bruch{1}{3}x^3+C
[/mm]
C ist eine Konstante, die an dieser Stelle nicht weiter wichtig ist, der Richtigkeit halber aber erwähnt werden sollte.
Du hast also eine Funktion [mm] F(x)=\bruch{1}{3}x^3+C [/mm] , die die Fläche unter dem Graphen der Funktion von f definiert. Je nachdem, wie deine Integrationsgrenzen sind, kannst du dann die Fläche berechnen.
Um vom Integral auf die Formel [mm] F(b,z)=\bruch{b^{z+1}}{z+1} [/mm] zu schließen, schaust du dir einfach noch mal das oben berechnete Integral an:
[mm] F(x)=\integral x^2\, [/mm] dx [mm] =\bruch{1}{3}x^3+C=\bruch{1}{2+1}x^{2+1}+C
[/mm]
Du erkennst sicher, dass da praktisch deine Formel [mm] F(b,z)=\bruch{b^{z+1}}{z+1} [/mm] steht (für z=2 und b=x).
Sollte dir das Prinzip so weit klar sein, betrachten wir die Funktion [mm] F(b,z)=\bruch{b^{z+1}}{z+1} [/mm] mal etwas genauer. Diese Funktion scheint ja aus einem Integral hervorgegangen zu sein, weil sie auch eine Fläche unterhalb der Funktion f(b,z) beschreibt. Die Ableitung der Integralsfunktion ist allgemein die Integrandfunktion. Also:
[mm] f(b,z)=F'(b,z)=(\bruch{b^{z+1}}{z+1})'=\bruch{(z+1)*b^{z+1-1}}{z+1}=b^z.
[/mm]
Du kennst somit also die Integralsfunktion einer allgemeinen Integrandfunktion [mm] f(b,z)=b^z. [/mm] Nämlich
[mm] F(b,z)=\integral_{}^{} b^z\, [/mm] db [mm] =\bruch{b^{z+1}}{z+1}+C.
[/mm]
Wie oben erwähnt und gezeigt, kannst du b durch x und z durch 2 ersetzen.
Also muss für b=x und z=2 die Integralsfunktion von [mm] f(x)=x^2 [/mm] der Funktion [mm] F(b,z)=\bruch{b^{z+1}}{z+1} [/mm] entsprechen. Damit müssen die durch beide Funktionen beschriebenen Flächen unter den jeweiligen Graphen in einem Intervall [a,b] gleich groß sein.
Hoffe, nicht mehr Verwirrung gestiftet zu haben, als schon vorhanden. Finde meinen 'Beweis' selbst nicht sonderlich überzeugend. :-(
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