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| Aufgabe | Beweise, aus a|n und b|n folgt kgV(a,b)|n
Seien a, b ganze Zahlen ohne Null und kgV = k. |
Hallo,
ich habe zu der oben angegebenen Aufgabe eine Lösung, die ich jedoch nicht ganz verstehe, es würde mich freuen, wenn sich jemand findet um den Beweis etwas zu erläutern.
Beweis laut Lösung:
Sei k=kgv(a,b).
Divison mit Rest ergibt t=qk+r, 0 [mm] \le [/mm] r < k
(erstes Problem. Ich verstehe zwar generell die Division mit Rest, aber hier stutze ich. Hier wurde doch einfach gezeigt, dass es eine Zahl t gibt, die sich aus dem Mehrfachen von q und einem Rest r zusammensetzt)
[mm] \Rightarrow [/mm] r=n-qm
[mm] \Rightarrow [/mm] a|r und b|r
[mm] \Rightarrow [/mm] r=0 nach division von k.
(Der letzte Schritt will mir garnicht einleuchten)
Wenn sich jmand findet, um meine Lücken zu beheben wäre mir sehr geholfen und ich bedanke mich im voraus.
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> Beweise, aus a|n und b|n folgt kgV(a,b)|n
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> Seien a, b ganze Zahlen ohne Null und kgV = k.
> Hallo,
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> ich habe zu der oben angegebenen Aufgabe eine Lösung, die
> ich jedoch nicht ganz verstehe, es würde mich freuen, wenn
> sich jemand findet um den Beweis etwas zu erläutern.
Du hast völlig Recht, die Darstellung ist unsinnig.
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> Beweis laut Lösung:
> Sei k=kgv(a,b).
> Divison mit Rest ergibt t=qk+r, 0 [mm]\le[/mm] r < k
> (erstes Problem. Ich verstehe zwar generell die Division
> mit Rest, aber hier stutze ich. Hier wurde doch einfach
> gezeigt, dass es eine Zahl t gibt, die sich aus dem
> Mehrfachen von q und einem Rest r zusammensetzt)
Was bedeutet t überhaupt? Es kommt dann gar nicht mehr vor.
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> [mm]\Rightarrow[/mm] r=n-qm
Was bedeutet und was soll m? Es kommt auch nicht mehr vor.
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> [mm]\Rightarrow[/mm] a|r und b|r
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] r=0 nach division von k.
> (Der letzte Schritt will mir garnicht einleuchten)
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> Wenn sich jmand findet, um meine Lücken zu beheben wäre
> mir sehr geholfen und ich bedanke mich im voraus.
>
>
>
Der "Beweis" ist völlig unsinnig.
Sei k=kgv(a|b).
Nach dem Euklidschen Algorithmus lässt sich nun n [mm] \ne [/mm] 0 eindeutig darstellen als
n = k*x + r mit x [mm] \in \IN [/mm] und r [mm] \in \IN_0 [/mm] , [mm] 0\le [/mm] r <k.
Weil k=s*a ist (Vielfaches von a ) mit s [mm] \in \IN, [/mm] erhält man
n=s*a*x + r.
Da a|n und a|s*a*x, muss a auch r teilen, also ist r Vielfaches von a.
Ebenso:
Weil k=t*b ist (Vielfaches von b ) mit t [mm] \in \IN, [/mm] erhält man
n=t*b*x + r.
Da b|n und b|t*b*x, muss b auch r teilen, also ist r auch Vielfaches von b.
Somit ist r gemeinsames Vielfaches von a und b. Aber r<k bedeutet, dass r kleiner als das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b ist. Das einzige gemeinsame nicht-negative Vielfache, dass kleiner als das kleinste gemeinsame Vielfache ist, ist 0. Also ist r=0.
Damit gilt aber: n=k*x+0, also k|n.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:14 Mi 05.04.2017 | | Autor: | Windbeutel |
Vielen Dank,
ich hatte schon mehrmals versucht die vorgegebene Lösung nach zu vollziehen und war am verzweifeln.
Vielen Dank für deine Hilfe.
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