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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl ist und [mm] n\in\IN\cup{0}. [/mm] Dann gilt [mm] a^n=1 [/mm] |
Ich will dies nun mittels Induktion beweisen. Ist das so möglich?
Für n=0 ist bekannt, dass [mm] a^0=1. [/mm] Beweis des Induktionsanfangs
Im Folgenden nehme ich an, dass [mm] a^n=a^{n-1}=1 [/mm] gilt und zeige, dass [mm] a^{n+1}=1 [/mm] folgt. Also schreibe ich:
[mm] a^{n+1}=a^n*a=\bruch{a^n*a^n}{a^{n-1}}= [/mm] (wegen Induktionsvoraussetzung) [mm] \bruch{1*1}{1}=1
[/mm]
Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede natürliche Zahl n gezeigt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
> Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]
> Ich will dies nun mittels Induktion beweisen. Ist das so
> möglich?
> Für n=0 ist bekannt, dass [mm]a^0=1.[/mm] Beweis des
> Induktionsanfangs
> Im Folgenden nehme ich an, dass [mm]a^n=a^{n-1}=1[/mm]
Dann musst du den Induktionsanfang für zwei kleinste n durchführen.
> gilt und
> zeige, dass [mm]a^{n+1}=1[/mm] folgt. Also schreibe ich:
> [mm]a^{n+1}=a^n*a=\bruch{a^n*a^n}{a^{n-1}}=[/mm] (wegen
> Induktionsvoraussetzung) [mm]\bruch{1*1}{1}=1[/mm]
>
> Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede
> natürliche Zahl n gezeigt.
Viele Grüße
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> Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]
Hallo,
wie lautet den die komplette Aufgabe im Originalwortlaut?
Das da oben ist etwas strange.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]
> Ich will dies nun mittels Induktion beweisen. Ist das so
> möglich?
> Für n=0 ist bekannt, dass [mm]a^0=1.[/mm] Beweis des
> Induktionsanfangs
> Im Folgenden nehme ich an, dass [mm]a^n=a^{n-1}=1[/mm] gilt und
> zeige, dass [mm]a^{n+1}=1[/mm] folgt. Also schreibe ich:
> [mm]a^{n+1}=a^n*a=\bruch{a^n*a^n}{a^{n-1}}=[/mm] (wegen
> Induktionsvoraussetzung) [mm]\bruch{1*1}{1}=1[/mm]
>
> Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede
> natürliche Zahl n gezeigt.
Nein. Der Induktionsschritt muß für jedes [mm] $n\in \IN$ [/mm] gezeigt werden, also auch für $n=0$. In dem Fall wird aber [mm] $a^{n-1} [/mm] = 1$ nicht von der Induktionsvoraussetzung abgedeckt. Wenn Du also noch den Induktionsschritt [mm] $0\to [/mm] 1$, also [mm] $a^1=1$, [/mm] zeigst, ist Dein Beweis perfekt. Also bitte ...
Die Induktionsvoraussetzung wird hier übrigens in einer etwas verallgemeinerten, aber dennoch gültigen Form gebraucht, und zwar: Die Aussage A(k) stimmt für alle [mm] $k\in \IN, [/mm] k< n+1$.
EDIT: Korrigiert nach Hinweis von Axiom96. Danke!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:41 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> > Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> > ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]
> > Ich will dies nun mittels Induktion beweisen. Ist das
> so
> > möglich?
> > Für n=0 ist bekannt, dass [mm]a^0=1.[/mm] Beweis des
> > Induktionsanfangs
> > Im Folgenden nehme ich an, dass [mm]a^n=a^{n-1}=1[/mm] gilt und
> > zeige, dass [mm]a^{n+1}=1[/mm] folgt. Also schreibe ich:
> > [mm]a^{n+1}=a^n*a=\bruch{a^n*a^n}{a^{n-1}}=[/mm] (wegen
> > Induktionsvoraussetzung) [mm]\bruch{1*1}{1}=1[/mm]
> >
> > Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede
> > natürliche Zahl n gezeigt.
>
> Nein. Der Induktionsschritt muß für jedes [mm]n\in \IN[/mm]
> gezeigt werden, also auch für [mm]n=0[/mm]. In dem Fall wird aber
> [mm]a^{n-1} = 1[/mm] nicht von der Induktionsvoraussetzung
> abgedeckt. Wenn Du also noch den Induktionsschritt [mm]0\to 1[/mm],
> also [mm]a^1=1[/mm], zeigst, ist Dein Beweis perfekt. Also bitte
> ...
>
> Die Induktionsvoraussetzung wird hier übrigens in einer
> etwas verallgemeinerten, aber dennoch gültigen Form
> gebraucht, und zwar: Die Aussage A(n) stimmt für alle [mm]n\in \IN, n< n+1[/mm].
Ich glaube, es müsste lauten: Die Aussage A(n) gilt für alle [mm] n\in\IN, n<\bar{n}\implies(?) A(\bar{n}) [/mm] heißen, oder? Denn es gibt nur ein n<n+1, nämlich gerade $n$. Aber ich kann mich täuschen...
> Gruß,
> Wolfgang
>
Viele Grüße
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:16 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
> Ich glaube, es müsste lauten: Die Aussage A(n) gilt für
> alle [mm]n\in\IN, n<\bar{n}\implies(?) A(\bar{n})[/mm] heißen,
> oder? Denn es gibt nur ein n<n+1, nämlich gerade [mm]n[/mm]. Aber
> ich kann mich täuschen...
Nein, Du täuschst Dich nicht. Ich hab's korrigiert. Danke!
Gruß,
Wolfgang
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Hallo,
ich wundere mich über zweierlei:
> Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]
1.
Warum regt sich eigentlich außer mir keine über die gepostete Aufgabenstellung auf?
"Beweise, daß a eine beliebige positive reelle Zahl ist"... Tssss...
> Ich will dies nun mittels Induktion beweisen.
> [...]
> Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede
> natürliche Zahl n gezeigt.
2.
Warum wunderst Du Dich nicht darüber, daß Du die Aussage
"Für jede reelle positive Zahl und jedes [mm] n\in \IN [/mm] ist [mm] a^n=1 [/mm] "
beweisen konntest?
Du hast immerhin gerade gezeigt, daß [mm] 13^{4711}=1...
[/mm]
(Einen Tip hast Du ja bereits bekommen.)
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Di 20.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich wundere mich über zweierlei:
>
> > Beweisen Sie, dass a eine beliebige positive reelle Zahl
> > ist und [mm]n\in\IN\cup{0}.[/mm] Dann gilt [mm]a^n=1[/mm]
>
> 1.
> Warum regt sich eigentlich außer mir keine über die
> gepostete Aufgabenstellung auf?
Hallo Angela,
ich kann Dich beruhigen. Ich rege mich auch auf.
Ich habe die "Aufgabe" aber erst vor 2 Minuten zum ersten mal gesehen.
Gruß FRED
> "Beweise, daß a eine beliebige positive reelle Zahl
> ist"... Tssss...
>
> > Ich will dies nun mittels Induktion beweisen.
> > [...]
> > Somit wäre mittels Induktions die Aussage für jede
> > natürliche Zahl n gezeigt.
>
> 2.
> Warum wunderst Du Dich nicht darüber, daß Du die Aussage
> "Für jede reelle positive Zahl und jedes [mm]n\in \IN[/mm] ist
> [mm]a^n=1[/mm] "
> beweisen konntest?
> Du hast immerhin gerade gezeigt, daß [mm]13^{4711}=1...[/mm]
> (Einen Tip hast Du ja bereits bekommen.)
>
> LG Angela
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> Ich rege mich auch auf.
Hallo Fred,
das ist prima!
Dann bin ich jetzt wieder ganz ruhig.
LG Angela
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