Beweis mit Modulo keine Lösung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mo 19.01.2015 | | Autor: | steinole |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Gleichung 3a² + 2 = b² keine Lösung (a, b) [mm] \in \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] besitzt.
Hinweis: Reduzieren Sie die Gleichung modulo einer geeigneten Zahl. |
Hi,
diese Aufgabe bereitet mir Probleme.
Für die linke Seite weiß man, dass der Rest immer 2 ergibt. Soweit alles klar, die rechte Seite muss demzufolge, damit beide Seiten nicht gleich sein können, entweder kongruent zu 0 (mod 3) oder 1 (mod 3) sein. (richtig verstanden?)
Aber wie ist nun das weitere Vorgehen? Oder zielt der Ansatz schon in die falsche Richtung?
Wäre über Tipps erfreut.
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Mo 19.01.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Gleichung 3a² + 2 = b² keine Lösung
> (a, b) [mm]\in \IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] besitzt.
> Hinweis: Reduzieren Sie die Gleichung modulo einer
> geeigneten Zahl.
> Für die linke Seite weiß man, dass der Rest immer 2
> ergibt. Soweit alles klar, die rechte Seite muss
> demzufolge, damit beide Seiten nicht gleich sein können,
> entweder kongruent zu 0 (mod 3) oder 1 (mod 3) sein.
> (richtig verstanden?)
>
> Aber wie ist nun das weitere Vorgehen? Oder zielt der
> Ansatz schon in die falsche Richtung?
> Wäre über Tipps erfreut.
Die geeignete Zahl hast du doch schon gefunden. Dann probier doch einfach mal die Quadrate mod 3 durch.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mo 19.01.2015 | | Autor: | steinole |
Es kommen tatsächlich entweder 0 (mod 3) oder 1 (mod 3) heraus.
1² = 1 [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 3)
2² = 4 [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 3)
3² = 9 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 3)
4² = 16 [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 3)
5² = 25 [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 3)
...
Aber wie lässt es sich allgemein für alle Quadratzahlen zeigen?
Bzw. warum kann es keine Quadratzahl modulo 3 mit Rest 2 geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mo 19.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
b=0mod3 oder b=1mod3 oder b=2 mod3 daraus folgt für [mm] b^2 [/mm] mod3 ?
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Mo 19.01.2015 | | Autor: | steinole |
> Hallo
> b=0mod3 oder b=1mod3 oder b=2 mod3 daraus folgt für [mm]b^2[/mm]
> mod3 ?
> Gruß leduart
Ah,
b = 0 (mod 3):
0 (mod 3) * 0 (mod 3) [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 3)
b = 1 (mod 3):
1 (mod 3) * 1 (mod 3) [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 3)
b = 2 (mod 3):
2 (mod 3) * 2 (mod 3) [mm] \equiv [/mm] 4 (mod 3) [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 3)
??
Danke euch beiden.
MFG
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