Beweis mit der Sinusfunktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Do 08.03.2007 | | Autor: | Silicium |
| Aufgabe | Begründe: Es gibt keinen Winkel [mm] \alpha, [/mm] für den gilt:
[mm] sin(\alpha) [/mm] + [mm] cos(\alpha) [/mm] = 2 |
Hallo,
ich weiß leider nicht, wie ich bei oben genannter Frage vorgehen soll. Ich weiß, wie die Sinus- und Kosinusfunktion aussieht. Ich kann in meinem Taschenrechner verschiede Sinus- und Kosinuswerte ausrechnen und addieren, komme aber nie auf 2. Allerdings ist das keine Begründung. Könnt ihr mir bei der Begründung helfen?
Viele Grüße,
Silicium
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
[mm] \sin(\alpha)+\cos(\alpha)=2 \quad \gdw \quad\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\cos(\alpha)\sin(\alpha)=4[/mm] dabei ist [mm] 2\cos(\alpha)\sin(\alpha)\leq2 [/mm] also
[mm] \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) \leq 2 [/mm] Die linke Seite der letzten Gleichung ist aber der trigonometrische Pythagoras und damit immer eins! Also [mm] \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 \Rightarrow \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\cos(\alpha)\sin(\alpha)\leq 3 \Rightarrow \sin(\alpha)+\cos(\alpha)\leq \sqrt 3<2[/mm] Die Lösung ist vielleicht nicht ganz so leicht verständlich, ich hoffen du kannst damit was anfangen.
mfG Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Do 08.03.2007 | | Autor: | Silicium |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Leider blicke ich schon ganz am Anfang nicht mehr durch. Daher entscheide ich mich für die Lösung von Ankh. Trotzdem würde ich mich darüber freuen, wenn es mir erklärt werden würde, wieso du plötzlich [mm] 2\cos(\alpha)\sin(\alpha) [/mm] einsetzt. Wie kommt du auf diese Formel?
Viele Grüße,
Silicium
|
|
|
| |
|
Hallo Silicium!
Hier wurde im ersten Schritt die Gleichung quadriert und anschließend auf der linken Seite eine  binomische Formel angewandt:
[mm] $\sin(\alpha)+\cos(\alpha) [/mm] \ = \ 2$ [mm] $\left| \ (...)^2$
$\left[ \ \sin(\alpha)+\cos(\alpha) \ \right]^2 \ = \ 2^2$
$\sin^2(\alpha)+2*\sin(\alpha)*\cos(\alpha)+\cos^2(\alpha) \ = \ 4$
Nun klar?
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Do 08.03.2007 | | Autor: | Silicium |
Hallo,
dieser Schritt ist mir nun klar, danke für die Erklärung. Aber der folgende Schritt ist mir schon wieder unklar. Wieso gilt: $ [mm] \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) \leq [/mm] 2 $?
Viele Grüße,
Silicium
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:31 Do 08.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
wir hatten doch:
[mm] \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\cos(\alpha)\sin(\alpha)=4 [/mm]
das ist aber auch:
[mm] \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\cos(\alpha)\sin(\alpha)=2+2
[/mm]
naja und wenn:
[mm] 2\cos(\alpha)\sin(\alpha)\leq2
[/mm]
dann muss:
[mm] \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) \leq [/mm] 2
sein, denn sonst kommst du nicht auf die Summe 4
Alles klar?
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:37 Do 08.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Aus
[mm] $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\cos(\alpha)\sin(\alpha)=2+2$
[/mm]
[mm] $2\cos(\alpha)\sin(\alpha)\leq2$
[/mm]
folgt aber nicht
[mm] $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) \leq2$
[/mm]
sondern
[mm] $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) \geq2$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:40 Do 08.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hi,
aber mit dem Wissen, dass hier der trigonometrische Pythagoras vorliegt, schon 
lg
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Do 08.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> dabei ist [mm] $2\cos(\alpha)\sin(\alpha)\leq2$
[/mm]
Warum? *dumm stell*
und warum folgt aus
[mm] $\quad\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\cos(\alpha)\sin(\alpha)=4$
[/mm]
und
[mm] $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$
[/mm]
das hier:
[mm] $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)+2\cos(\alpha)\sin(\alpha)\leq [/mm] 3$
???
|
|
|
| |
|
Hallo,
Ausgangspunkt war:
sin [mm] \alpha [/mm] + cos [mm] \alpha [/mm] = 2 die Gleichung wird quadriert
(sin [mm] \alpha [/mm] + cos [mm] \alpha)^{2} [/mm] = [mm] 2^{2} [/mm] jetzt brauchst du die binomische Formel [mm] (a+b)^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + 2ab + [mm] b^{2}
[/mm]
[mm] sin^{2} \alpha [/mm] + [mm] 2*cos\alpha*sin\alpha [/mm] + [mm] cos^{2} \alpha [/mm] = 4
[mm] sin^{2} \alpha [/mm] + [mm] cos^{2} \alpha [/mm] + [mm] 2*cos\alpha*sin\alpha [/mm] = 4
es gilt:
[mm] sin^{2} \alpha [/mm] + [mm] cos^{2} \alpha [/mm] = 1 das ist der trigonometrische Pythagoras
1 + [mm] 2*cos\alpha*sin\alpha [/mm] = 4
es gilt:
[mm] 2*cos\alpha*sin\alpha [/mm] < 2 schau dir die Sinus- und Cosinusfunktion an, können maximal 1 werden, aber nicht gleichzeitig, also ist das Produkt kleiner 2,
also:
1 + [mm] 2*cos\alpha*sin\alpha [/mm] < 3
also auf jeden Fall:
1 + [mm] 2*cos\alpha*sin\alpha [/mm] < 4
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Do 08.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Das ist ja alles schön und gut, nur leider nicht das Gleiche wie das, was straussy argumentiert hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Do 08.03.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
die Grundidee ist die gleiche, ich gehe sogar noch einen Schritt weiter:
straussy argumentiert
1.) [mm] sin^{2}\alpha [/mm] + [mm] cos^{2}\alpha \le [/mm] 2
2.) [mm] 2*cos\alpha*sin\alpha \le [/mm] 2
ich habe es schärfer formuliert, weil es so ist:
1.) [mm] sin^{2}\alpha [/mm] + [mm] cos^{2}\alpha [/mm] < 2
2.) [mm] 2*cos\alpha*sin\alpha [/mm] < 2
siehe Begründung in meinem Post,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Do 08.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Ok, hab straussys Argumentation jetzt nachvollzogen.
Mit deinem gewagten Argument
> schau dir die Sinus- und Cosinusfunktion an, können maximal 1 werden, aber nicht gleichzeitig
erschlägst du aber auch schon das zu Zeigende
[mm] $sin\alpha +cos\alpha [/mm] < 2$
...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Do 08.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Hallo,
>
> Ausgangspunkt war:
>
> sin [mm]\alpha[/mm] + cos [mm]\alpha[/mm] = 2 die Gleichung wird quadriert
>
> (sin [mm]\alpha[/mm] + cos [mm]\alpha)^{2}[/mm] = [mm]2^{2}[/mm] jetzt brauchst du die
> binomische Formel [mm](a+b)^{2}[/mm] = [mm]a^{2}[/mm] + 2ab + [mm]b^{2}[/mm]
>
> [mm]sin^{2} \alpha[/mm] + [mm]2*cos\alpha*sin\alpha[/mm] + [mm]cos^{2} \alpha[/mm] =
> 4
>
> [mm]sin^{2} \alpha[/mm] + [mm]cos^{2} \alpha[/mm] + [mm]2*cos\alpha*sin\alpha[/mm] =
> 4
>
> es gilt:
> [mm]sin^{2} \alpha[/mm] + [mm]cos^{2} \alpha[/mm] = 1 das ist der
> trigonometrische Pythagoras
>
> 1 + [mm]2*cos\alpha*sin\alpha[/mm] = 4
>
Ab hier würde ich die Doppelwinkelfunktionen benutzen [mm]2*cos\alpha*sin\alpha[/mm] = [mm]sin2\alpha[/mm]
Dann sieht die Gleichung so aus:
[mm]sin2\alpha[/mm] = 3
Wertebereich von f(x) = sin2x liegt im Intervall [-1;1]. So kann [mm]sin2\alpha[/mm] nicht gleich 3 sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Do 08.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Sinus und Kosinus sind am Einheitskreis definiert. Dort konstruiert man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a (unten), b(rechts) und c (schräg links/ Hypotenuse). Der Sinus des Winkels [mm] \beta [/mm] zwischen a und c beschreibt das Verhältnis [mm] $\bruch{b}{c}$ [/mm] und der Kosinus [mm] $\bruch{a}{c}$.
[/mm]
Nehmen wir also die Gleichung
$sin [mm] \beta [/mm] + cos [mm] \beta [/mm] = 2$ und setzen die Definition ein:
[mm] $\gdw \bruch{b}{c} [/mm] + [mm] \bruch{a}{c} [/mm] = 2$
[mm] $\gdw \bruch{b+a}{c} [/mm] = 2$
[mm] $\gdw [/mm] b+a = 2c$
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt aber (wenn c die Hypotenuse ist):
$c > a$ und $c > b$, daraus folgt
[mm] $\gdw [/mm] b+a < 2c$ Widerspruch, q.e.d.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Do 08.03.2007 | | Autor: | Silicium |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Ich kann nur leider den letzten Schritt nicht nachvollziehen. Du hast geschrieben:
"daraus folgt $ [mm] \gdw [/mm] b+a < 2c $"
Wieso folgt das daraus? Mich stört das 2c. Ich weiß nicht recht, wie ich damit umgehen soll.
Viele Grüße,
Silicium
|
|
|
| |
|
Hallo Silicium,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Hier hat Ankh die beiden Ungleichungen addiert:
$b \ < \ c$
$a \ < \ c$
-------------------
$a+b \ < \ c+c \ = \ 2c$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Do 08.03.2007 | | Autor: | Silicium |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Diesen Lösungsweg habe ich nun verstanden.
Viele Grüße,
Silicium
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Do 08.03.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi.
[mm] sin(\alpha)+cos(\alpha)=2
[/mm]
Sinus- und Kosinusfuinktionen können nur Werte im Intervall [-1;1] annehmen.
Damit die Summe beider Funktionen 2 sein kann, muss es also ein [mm] \alpha [/mm] geben, für das beide Funktionen den Funktionswert 1 haben.
Das heißt, dass die Hochpunkte der Funktionen aufeinander fallen müssen. D a die Funktionen periodisch sind, würde das alle [mm] 2\pi [/mm] Einheiten wieder passieren.
Aber dann würde [mm] sin(\alpha)=cos(\alpha) [/mm] gelten für alle [mm] \alpha \in \IR.
[/mm]
Und das stimmt eben nicht. Wenn das noch nicht genug ist, setzt man für [mm] \alpha [/mm] probehalber 0 ein und kommt auf 0=1 (sin(o)=cos(0). Falsche Aussage, es gilt also rückführend nicht für alle [mm] \alpha \in \IR. [/mm] Und noch weiter zurückgeführt kann [mm] sin(\alpha)+cos(\alpha)=2 [/mm] dann nicht stimmen.
Viel Text um Nichts, aber würde das so gehen theoretisch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Fr 09.03.2007 | | Autor: | Silicium |
Hallo,
heute im Matheunterricht haben wir die Aufgabe durchgesprochen. Ich war richtig enttäuscht, diesen tollen Beweis nicht vorrechnen zu können, da die Lösung eigentlich viel einfacher war: Es gibt keinen [mm] sin(\alpha)>1 [/mm] und keinen [mm] cos(\alpha)>1, [/mm] somit müsste die Lösung dadurch entstehen, dass man einen Wert findet, bei dem [mm] sin(\alpha)=1 [/mm] und [mm] cos(\alpha)=1 [/mm] gilt. Solch einen Wert gibt es aber nicht, da ein Wert mit [mm] sin(\alpha)=1 [/mm] einen Kosinuswert von 0 hat und umgekehrt.
Viele Grüße und nochmals vielen Dank für eure Hilfe,
Silicium
|
|
|
|
