Beweis nicht-triviale Lösung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mo 27.11.2006 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, seien c1, . . . , cn [mm] \in [/mm] K, n [mm] \ge [/mm] 1. Zeigen Sie, dass das homogene lineare Gleichungssystem mit der Matrix
[mm] \pmat{ c_{1}-1 & c_{1} & ... & c_{1} \\ c_{2} & c_{2}-1 & ... & c_{2} \\ c_{n} & c_{n} & ... & c_{n}-1 }
[/mm]
als einfacher Koeffizientenmatrix genau dann eine nicht-triviale Lösung besitzt, wenn
[mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i} [/mm] = 1
gilt.
Hinweis: Beachten Sie, dass in allen Spalten der Matrix die Summe der Einträge gleich ist. |
Hallo zusammen!
Ich bin mit dieser Aufgabe völlig überfordert, habe mir jedoch überlegt, ob es ein Ansatz wäre, wenn ich das Ganze folgendermaßen auffasse: Die obige Darstellung könnte man ja auch so verstehen, dass man von der gegebenen Matrix die Einheitsmatrix subtrahiert:
[mm] \pmat{ c_{1} & c_{1} & ... & c_{1} \\ c_{2} & c_{2} & ... & c_{2} \\ c_{n} & c_{n} & ... & c_{n} } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & 1 }
[/mm]
Klar ist mir auch, dass die Summe der Einträge in allen Spalten gleich ist, da ja immer die gleichen Koeffizienten addiert würden, nur irgendwo würde mal eine 1 abgezogen.
Aber was kann ich weiter tun? Über Hilfe wäre ich superfroh....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin PixCell!
Du hast hier doch eine [mm] \gdw [/mm] Äquivalenz zu zeigen. D.h. du mußt
1) [mm] \Leftarrow
[/mm]
zeigen das aus [mm] $\sum_{i=1}^n c_i=1$ [/mm] folgt das das LGS eine nichttriviale Lösung besitzt
2) [mm] \Rightarrow
[/mm]
das wenn das LGS eine nichttriviale Lösung besitzt [mm] $\sum_{i=1}^n c_i=1$ [/mm] folgt
hoffe das dir das für einen neuen Versuch erst einmal hilft.
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 27.11.2006 | | Autor: | PixCell |
Tausend Dank so weit erst mal! Werd das mal probieren und dann mal weitersehen ; )
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:14 Mo 27.11.2006 | | Autor: | PixCell |
...also irgenwie habe ich es immer noch nicht kapiert.
Was sagt denn eigentlich die Spaltensumme über die Lösungsmenge aus? Ich kenne die Bedeutung und Verwendung der Spaltensumme gar nicht. Darum gehts doch, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 29.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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