Beweis über Quersumme < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. |
Hi zusammen,
wie oben schon erwähnt, soll bewiesen werden, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Natürlich könnte ich jetzt als Beispiel die Zahl 81 nehmen (8+1) = 9 und somit die Aussage beweisen.
Allerdings finde ich meinen Beweis nicht dem Hochschulwissen angebracht und wollte daher fragen, ob es eine Alternative dazu gibt?
Vielen Dank 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Bewiesen hast du bis jetzt noch nichts, nur an einem kleinem Beispiel verifiziert. Welche Voraussetzungen hast du denn? Darfst du das Rechnen mit Kongruenzen verwenden?
Wenn nicht, dann kann man so anfangen: Sei [mm] a=a_n\cdot10^n+\ldots+a_1\cdot10+a_0 [/mm] eine Zahl (in Dezimaldarstellung). Dann Schreibe $a$ als [mm] a=a_n\cdot (10^n-1)+\ldots+a_1\cdot(10-1)+a_0+a_1+a_2+\ldots+a_n. [/mm] Kennst du dich etwas mit Teilbarkeit aus? Dann sollte der Rest kein Problem sein, wenn du bedenkst, dass [mm] $10^k-1$ [/mm] für alle [mm] $k\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] durch 9 teilbar sind.
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> Beweisen Sie, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre
> Quersumme durch 9 teilbar ist.
> Natürlich könnte ich jetzt als Beispiel die Zahl 81
> nehmen (8+1) = 9 und somit die Aussage beweisen.
Eine allgemeine Aussage kann man niemals durch
ein einziges Beispiel beweisen.
Im Gegensatz dazu könnte man eventuell eine allgemeine
Behauptung durch ein einziges Gegenbeispiel zu
Fall bringen, also widerlegen.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre
> Quersumme durch 9 teilbar ist.
> Hi zusammen,
>
> wie oben schon erwähnt, soll bewiesen werden, dass eine
> Zahl durch 9 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 9
> teilbar ist.
>
> Natürlich könnte ich jetzt als Beispiel die Zahl 81
> nehmen (8+1) = 9 und somit die Aussage beweisen.
ne. Nach dieser Logik kann ich auch beweisen, dass jede Zahl durch 7
teilbar ist:
Beweis: Die 0 tut's.
Also: ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Allerdings finde ich meinen Beweis nicht dem
> Hochschulwissen angebracht und wollte daher fragen, ob es
> eine Alternative dazu gibt?
Die Aussage ist: Ist eine Zahl $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $N=(a_{n},a_{n-1},...,a_1,a_0)_{10}$ [/mm] (hierbei sind alle [mm] $a_k \in \{0,...,9\}$ [/mm] "Ziffern")
(Du schreibst sowas normalerweise als [mm] $a_na_{n-1}...a_1a_0\,,$ [/mm] natürlich multiplizierst
Du da die Ziffern NICHT!)
in Dezimaldarstellung gegeben, so gilt, dass
$9 [mm] \mid \sum_{k=0}^N a_k$ $\Rightarrow$ [/mm] $9 [mm] \mid N\,.$
[/mm]
Schreibe dazu
[mm] $N=\sum_{k=0}^n a_k*10^k\,.$ [/mm] (Ist Dir das klar?)
Nun gilt
[mm] $\sum_{k=0}^N a_k=9*z$ [/mm] mit einem $z [mm] \in \IN\,.$ [/mm] (Nach Voraussetzung!)
Nun gilt aber auch
[mm] $N=\sum_{k=0}^n a_k*10^k=\sum_{k=0}^n a_k*(9+1)^k\,.$
[/mm]
Dabei kann man auf [mm] $(9+1)^k$ [/mm] den binomischen Lehrsatz anwenden...
P.S. Den Fall [mm] $N=0\,$ [/mm] kann man zusätzlich behandeln, der ist aber trivial!
P.P.S. Um dieses allgemeine Rezept besser zu durchschauen, empfehle ich
Dir, abstrakt zu bleiben, und dennoch ein wenig spezieller zu werden, indem
Du erstmal so tust, als müsstest Du die Aussage nur für die Fälle
[mm] $n=1,\,$ $n=2\,,$ $n=3\,,$ [/mm] und $n=4$
beweisen (also nur für alle Zahlen, die maximal 4 Ziffern haben, sofern man
vorangehende Nullen, wie üblich, nicht hinschreibt).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Fr 31.10.2014 | | Autor: | Michi4590 |
Vielen Dank für Eure Hilfe. Ich kann es nachvollziehen, wäre selber aber niemals darauf gekommen
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Hi
Noch einmal eine Nachfrage zu diesem Thema:
Und zwar habe ich gerade überlegt und festgestellt, dass es vielleicht auch möglich wäre, es so zu schreiben:
[mm]10 kongruent 1mod3 [/mm]
[mm] x_0 + 10x_1 + 10x_2 + ... +10^(n)x_n kongruent x_! + x_2 + x_n mod3[/mm]
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> Hi
>
> Noch einmal eine Nachfrage zu diesem Thema:
>
> Und zwar habe ich gerade überlegt und festgestellt, dass
> es vielleicht auch möglich wäre, es so zu schreiben:
>
> [mm]10\ kongruent\ 1\ mod\ 3[/mm]
> [mm]x_0 + 10x_1 + 10x_2 + ... +10^(n)x_n\ kongruent\ x_! + x_2 + x_n\ mod\ 3[/mm]
Hallo Michi,
hier betrachtest du aber durch die Rechnung modulo 3
eben nur die Teilbarkeit durch 3 , dabei geht es aber
um die Teilbarkeit durch 9. Du müsstest dann eigentlich
noch zeigen, dass das (ganzzahlige) Ergebnis der
Division durch 3 auch wieder durch 3 teilbar ist !
Du kannst aber die Idee mit der Modulo-Rechnung
(falls du die verwenden darfst) schon anwenden,
aber dann korrekt. Betrachte also dazu die Zahl
$\ a\ =\ [mm] x_0\,+\,x_1\,*\,10^1\,+\,x_2\,*\,10^2\,+\,x_2\,*\,10^2\ [/mm] ......\ [mm] \,+\,x_n\,*\,10^n$
[/mm]
und betrachte dies jetzt modulo 9 . Dies läuft
dann etwa auf dasselbe hinaus, was Teufel schon
in seinem Beitrag angeregt hat.
LG , Al-Chw.
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