Beweis (vollst. Induktion) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallöchen!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Beweisen sie:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k}*k=n*2^{n-1}
[/mm]
Ich habe das per vollst. Induktion probiert. Komme aber bei der Induktionsvoraussetzung nie auf das gleiche. Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Viele Grüße
Cosmotopianerin
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Also die Verankerung ist auf jeden Fall möglich. für n=1 ergibt sich auf beiden Seiten 1, sprich 1=1 womit du die Ind.vorauss. lieferst. Denn:
Die Summe [mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] über [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] * 1 ist 1, genau wie 1* [mm] 2^{1-1}=1 [/mm] ist. Du musst wirklich nur für k, dem ersten Glied deiner Summe, und n eine 1 einsetzen.
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Sorry, habe mich wohl falsch ausgedrückt. Die Verankerung habe ich. Ich kriege das nach einsetzen von n+1 nicht umgeformt.
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Hi!
Es gilt:
[mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] und
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^n
[/mm]
Dann:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\vektor{n \\ k}k [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\vektor{n \\ k-1}k
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}k+ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}(k+1) [/mm] = [mm] 2\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}k [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2n2^{n-1} [/mm] + [mm] 2^n [/mm] = [mm] 2^{n+1}
[/mm]
Bemerkung:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\vektor{n \\ k}k=\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}k, [/mm] da [mm] \vektor{n \\ n+1}=0
[/mm]
mfg Verena
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