Beweis von Logarithmusgesetzen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Soo .. mal kurz zur Vorgeschichte:
Ich hatte noch nie im Leben in der Schule Logarithmen - nun bin ich zur 12. Klasse auf eine andere Schule für den LK gekommen und als Einleitung zur Differentialrechnung sollen wir uns vorerst noch ein mal mit Logarithmus- und Exponentialfunktionen auseinandersetzen - nie gemacht!
Nun ergibt sich für mich folgendes Problem:
In der 12. jetzt haben wirs nur ansatzweise besprochen und ich war nur dazu in der Lage für einen Beweis eine Lösung bzw. Ansatz zu finden. Nebenbei: Das find ich echt traurig...
Also nun zu den Aufgaben bzw. Lösungsansätzen:
1.
[mm]
log_b \left( xy \right) = log_b x + log_b y
[/mm]
[mm]
b^r * b^s = b^r+s
[/mm]
[mm]
b^r = x
[/mm]
[mm]
b^s = y
[/mm]
[mm]
log_b \left( xy \right) = log_b \left( b^r+s \right)
[/mm]
[mm]
log_b \left( xy \right) = log_b x + log_b y
[/mm]
da [mm] b^r = x [/mm] [mm] und b^s=y [/mm]
[mm] r=log_b x [/mm] und [mm] s= log_b y [/mm]
2.
[mm] log_b \left( \bruch{x}{y} \right) = log_b x - log_b y [/mm]
Mein erster Ansatz wäre da die Potenzregel [mm] \left( \bruch{a^m}{a^n} \right) = a^m-n [/mm]
bin mir da aber noch unsicher..
3.
[mm] log_b x^t = t * log_b x [/mm]
da hab ich leider absolut keinen Ansatz zum Beweis
Ich hoffe das mitm TeX hat einigermaßen geklappt.
Danke schon mal für eure Antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> 1.
> [mm]
log_b \left( xy \right) = log_b x + log_b y
[/mm]
>
> [mm]
b^r * b^s = b^r+s
[/mm]
> [mm]
b^r = x
[/mm]
> [mm]
b^s = y
[/mm]
> [mm]
log_b \left( xy \right) = log_b \left( b^r+s \right)
[/mm]
>
> [mm]
log_b \left( xy \right) = log_b x + log_b y
[/mm]
>
> da [mm]b^r = x[/mm] [mm]und b^s=y[/mm]
>
> [mm]r=log_b x[/mm] und [mm]s= log_b y[/mm]
Hallo Harlecquinn!
Ich glaube nicht, dass das, was du da oben geschrieben hast, ein Beweis ist! Der Fehler liegt in Folgendem:
> [mm]
log_b \left( xy \right) = log_b \left( b^r+s \right)
[/mm]
[mm]
log_b \left( xy \right) = log_b x + log_b y
[/mm]
Du hast dort diesen Schritt, der ja bewiesen werden muss, nicht erklärt, da du nur eingesetzt hast und das bekannte Gesetz angewendet hast. In einem Beweis darfst du aber nicht das zu beweisende Gesetz anwenden! Verstehst du wie ich das meine? 
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Ja, das stimmt wohl - nur fällt mir nichts anderes ein als über eingesetzte Potenzgesetze zu beweisen..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Sa 03.09.2005 | | Autor: | ocram |
hallo
also ich weiß es nicht hundertprozentig aber ich habe mir nen beweis überlegt
also
x*y=z
es gilt immer: [mm] x=a^{log_{a}x}
[/mm]
also schreiben wir: ( ich nehme jetzt statt ner beliebigen basis einfach mal e weil es sich einfacher schreiben lässt, das ändert aber nichts
[mm] e^{lnx}*e^{lny}=e^{lnz}
[/mm]
nach den potenzgesetzen gilt
[mm] e^{lnx+lny}=e^{lnz}
[/mm]
also muss gelten
lnx + lny= lnz
da z=x*y
lnx+lny=lnx*y
ich hoffe das kann man so beweisen
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Ja, scheint recht logisch zu sein, doch was ist mit den Anderen - fürs Erste hatte ich ja auch eine recht rationale Lösung
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 So 04.09.2005 | | Autor: | ocram |
achso die anderen wolltest ja auch noch
also das zweite lässt sich analog zum ersten ableiten
da ist dann der ansatz
[mm] \bruch{x}{y}=z
[/mm]
du ersetzt wieder die variablen wie [mm] x=a^{log_{a}x}
[/mm]
dann wendest wieder potenzgesetze an und erhältst
[mm] a^{log_{a}x-log_{a}y}=a^{log_{a}z}
[/mm]
aus dem vergleich der potenzen und einsetzen der ausgnagsbeziehung für z erhälst dass zweite gesetz
das dritte gesetz lässt sich aus dem ersten recht einfach herleiten
[mm] log_{a}x^{k}=log_{a}x*x*x*x....=log_{a}x+log_{a}x+log_{a}x...
[/mm]
da du diesen summanden k-mal hast fasst einfach zusammen udn erhältst
[mm] k*log_{a}x
[/mm]
alles klar?
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oha.. wie einfach - dass ich da nicht drauf gekommen bin ist erschreckend.
Danke auf jeden Fall!
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