Beweis von Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Di 07.12.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Wo ist die Funktion
[mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 1-x, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \end{cases}[/mm]
stetig? Beweisen Sie dieses. |
Hallo,
ich tue mich etwas schwer mit den Stetigkeitsdefinitionen. Anhand meines Skriptes würde ich hier so vorgehen:
Die Funktion ist stetig in [mm] $x_0=0,5$, [/mm] denn
[mm]\forall(x_n) \limes_{n\rightarrow\infty}x_n = x_0 = 0,5[/mm] gilt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) = f(x_0) = 0,5[/mm]
(Ich bin mir aber nicht sicher, denn [mm] $x_0=0,5§ [/mm] ist ja nicht in [mm] $\IR\backslash\IQ$ [/mm] enthalten. Allerdings, eine Folge [mm] $x_n$ [/mm] mit [mm]x \in \IR \backslash \IQ[/mm] kann 0,5 als Grenzwert haben...)
Die Funktion ist unstetig in allen anderen Punkten, da für jedes [mm] $x_0$ [/mm] konvergente Folgen mit verschiedenen Grenzwerten existieren.
Die letzt Aussage müsste man vielleicht noch zeigen, aber ich weiss nicht, wie das gehen soll für alle x?
thx
Barney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht, nimm ein beliebiges [mm] x\ne [/mm] 0,5 a) x reell b)x rational und gib jeweils eine folge an, die rational ist und gegen x konvergiert und eine die nicht rational ist. damit hast du, dass die fkt nicht stetig ist.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 07.12.2010 | | Autor: | BarneyS |
Ok, danke für die Antwort. Ist das dann so richtig:
Beweis von Unstetigkeit in allen Punkten [mm] $x_0 \not= [/mm] 0,5$:
Annahme: f(x) ist stetig
[mm]\forall (x_n) x_n \in \IQ \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0[/mm] : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=x_0[/mm]
Aber,
[mm]\forall (x_n) x_n \in \IR \backslash \IQ \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0[/mm] : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=1 - x_0[/mm]
[mm]1-x_0 \not= x_0[/mm] [mm] \forall x_0 \not= 0,5[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] unstetig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Di 07.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ist das dann so richtig:
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> Beweis von Unstetigkeit in allen Punkten [mm]x_0 \not= 0,5[/mm]:
>
> Annahme: f(x) ist stetig
>
> [mm]\forall (x_n) x_n \in \IQ \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=x_0[/mm]
>
> Aber,
>
> [mm]\forall (x_n) x_n \in \IR \backslash \IQ \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=1 - x_0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch
Ist O.K.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Di 07.12.2010 | | Autor: | BarneyS |
ups, hab's nochmal minimal geändert. Müsste aber ok sein....
thx
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