Beweis von e < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = e |
hallöchen miteinander!
ich sollte obige gleichung beweisen, habe allerdings keinen wirklichen ansatz wie ich das angehen könnte..
hat jemand von euch eine idee? ich wäre froh, wenn mir jemand ein bisschen auf die sprünge helfen könnte..
vielen lieben dank =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mo 24.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Die wichtigste Frage ist natürlich, wie ihr e definiert habt....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Mo 24.11.2008 | | Autor: | sunshine_ |
naja e:eulersche zahl [mm] \approx [/mm] 2.718..
wirklich hergeleitet haben wir sie nicht.. hilft dir vermutlich nicht viel weiter :S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Di 25.11.2008 | | Autor: | snp_Drake |
Also, beweisen kannst du das nicht. Das oben ist die Definiton von e.
Was du machen könntest wäre
1) Eine andere Definition von e zur Rate zu ziehen und zu beweisen dass beide Definitionen gleich sind.
2) Zu beweisen dass der Grenzwert der Folge oben existiert indem du zeigst, dass die Folge monoton steigend und beschränkt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Di 25.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Also wir haben in der Vorlesung e so definiert:
[mm] $e:=\exp(1):=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}$.
[/mm]
Meines Erachtens ist dies mathematisch auch am schönsten...
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Di 25.11.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Sunshine,
wenn man die e-Funktion folgendermassen definiert:
exp(x):= die Loesung von " f'(x)=f(x) und f(0)=1 "
kann man "exp(x+y)=exp(x)*exp(y) " zeigen.
wir schreiben 1=n*dx
Nun gillt: [mm] exp(1)=exp(n*dx)=exp(dx+dx+...+dx)=exp(dx)*exp(dx)*...*exp(dx)=exp(dx)^n
[/mm]
Was ist nun exp(dx)?
Dazu naehern wir die exp-Funktion um die Null mit einer Geraden,
welche die Form hat: g(x)=exp(0)+exp'(0)*x
mit exp(0)=1 und exp'(0)=1
wenn dx nahe bei der null ist gilt:
[mm] exp(dx)\approx1+1*dx=1+\bruch{1}{n}
[/mm]
also haben wir [mm] exp(1)\approx(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
wobei [mm] "\approx" [/mm] in ein "=" uebergeht, wenn wir den Grenzwert betrachten:
[mm] exp(1)=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Also einen Mathematiker befriedigt diese Argumentation sicher nicht,
aber da sie so Anschaulich ist finde ich sie sehr schoen und
wahrscheinlich wird von dir auch nicht mehr verlangt.
Dass "exp(x+y)=exp(x)*exp(y) " gilt kannst du dir vielleicht selber ueberlegen. Wenn du es begruenden sollst, aber nicht selber auf eine Idee kommst kannst du ja noch mal nachfragen.
Ich hoffe du kannst die restlichen Schritte alle nachvollziehen!
Mit freundlichen Gruessen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Di 25.11.2008 | | Autor: | sunshine_ |
vielen dank für die hilfe, mal schau'n, ob das so in ordnung geht.. aber wirklich herzlichen dank für die bemühungen!
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