Beweis zu charakt. Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu zeigen ist, dass das charakteristische Polynom folgende Form besitzt:
[mm] $P_A(\lambda) [/mm] = [mm] (-1)^n \lambda^n [/mm] + [mm] (-1)^{n-1} [/mm] tr [mm] \operatorname{tr}(A)\lambda^{n-1} [/mm] + ... + det [mm] +\dots +\det(A)$
[/mm]
wobei $A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, K) $ |
Hallöchen,
für diesen Beweis habe ich ein paar Ideen, an deren Umsetzung es mal wieder recht mangelt.
Interessant wäre es, wenn ich folgendes zunächst zeigen könnte:
1) Für das charakteristische Polynom einer (nxn-Matrix) gitl [mm] $f(\lambda) [/mm] = [mm] (a_{11} [/mm] - [mm] \lambda)(a_{22} [/mm] - [mm] \lambda)...(a_{nn}-\lambda) [/mm] + [mm] g(\lambda)$, [/mm] wobei [mm] $g(\lambda)$ [/mm] ein Polynom ist.
1) Multipliziert man das aus, ergibt sich:
$ [mm] (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)...(a_{nn}-\lambda)=(-\lambda)^n \cdot (-\lambda)^{n-1}(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})+h(\lambda)$
[/mm]
Der Rest muss irgendwie folgen. Oder sollte ich das ganze anders angehen?
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:26 Di 01.04.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hi Kartoffelchen,
es mangelt eventuell nicht nur an der Umsetzung, sondern schon an der Schreibweise 
Hier z.B.:
> [mm]P_A(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} [red]tr \operatorname{tr}[/red](A)\lambda^{n-1} + ... + [red]det [/red]+\dots +\det(A)[/mm]
Was soll das bedeuten? Da steht auch zweimal "tr" (für die Spur). Und dann steht aber auch mal weiter hinten [mm] \det [/mm] völlig allein, was natürlich keinen Sinn macht.
Vielleicht kannst du deine Formel noch einmal überprüfen. Dann kann man sicherlich besser helfen.
Schönen Tag.
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> Zu zeigen ist, dass das charakteristische Polynom folgende
> Form besitzt:
>
> [mm]P_A(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} tr \operatorname{tr}(A)\lambda^{n-1} + ... + det +\dots +\det(A)[/mm]
:
Hallo,
so wird das nix...
Du möchtest sicher zeigen
[mm] P_A(\lambda) [/mm] = [mm] (-1)^n \lambda^n [/mm] + [mm] a_{n-1}\lambda^{n-1} +a_{n-2}\lambda^{n-2} [/mm] + ... + [mm] a_1\lambda^1 +a_0,
[/mm]
wobei stets
[mm] a_{n-1}=(-1)^{n-1} \operatorname{tr}(A) [/mm] und [mm] a_0=(-1)^ndet(A).
[/mm]
Es ist [mm] P_A(\lambda)=det(A-\lambda [/mm] E), und nun könnte die Leibnizformel weiterhelfen.
LG Angela
>
> wobei [mm]A \in M(n \times n, K)[/mm]
> Hallöchen,
>
> für diesen Beweis habe ich ein paar Ideen, an deren
> Umsetzung es mal wieder recht mangelt.
>
> Interessant wäre es, wenn ich folgendes zunächst zeigen
> könnte:
> 1) Für das charakteristische Polynom einer (nxn-Matrix)
> gitl [mm]f(\lambda) = (a_{11} - \lambda)(a_{22} - \lambda)...(a_{nn}-\lambda) + g(\lambda)[/mm],
> wobei [mm]g(\lambda)[/mm] ein Polynom ist.
>
>
> 1) Multipliziert man das aus, ergibt sich:
>
> [mm](a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)...(a_{nn}-\lambda)=(-\lambda)^n \cdot (-\lambda)^{n-1}(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})+h(\lambda)[/mm]
>
>
> Der Rest muss irgendwie folgen. Oder sollte ich das ganze
> anders angehen?
>
> Lg
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Hallo Angela & Co.,
verzeiht bitte die derben Tippfehler..
Nun, nachdem ich mich sehr rudimentär in die Leibniz-Formel http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Leibniz-Formel eingelesen habe, stellt sich mir die Frage:
Was sind nun die Permutationen in den Matrizen?
Ich melde mich dann morgen früh gleich noch einmal, wollte nur gerne die Frage noch los werden!
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> Nun, nachdem ich mich sehr rudimentär in die
> Leibniz-Formel
> http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Leibniz-Formel
> eingelesen habe, stellt sich mir die Frage:
>
> Was sind nun die Permutationen in den Matrizen?
Hallo,
es gibt hier keine Permutationen "in den Matrizen".
Leibnizformel:
Sei [mm] A:=(a_i_j) [/mm] eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix.
Es ist
[mm] \det [/mm] A = [mm] \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}\right) [/mm]
Was haben wir hier?
Eine Summe. Summiert wird über alle Permutation der Zahlen von 1 bis n.
Es gibt n! solcher Permutationen, also haben wir n! Summanden.
Was wird aufsummiert?
Gewisse Produkte von Einträgen der Matrix - mal mit pos. mal mit neg. Vorzeichen, was wir zunächst zurückstellen.
Die Produkte sind
[mm] \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}=a_{1, \sigma(1)}*a_{2, \sigma(2)}*...*a_{n, \sigma(n)}.
[/mm]
Es werden für die Determinante also alle Produkte gebildet von Einträgen der Matrix, die aus verschiedenen Zeilen und Spalten stammen.
Das Vorzeichen bestimmt [mm] \operatorname{sgn}(\sigma).
[/mm]
Es ist pos., wenn man die Permutation als gerade Anzahl von Transpositionen schreiben kann, sonst negativ.
(Lies das selbst nach und mach Dich schlau.)
Du ahnst, daß die Formel für die wirkliche Berechnung von Matrizen nichts taugt.
Ich mache es jetzt aber trotzdem mal für eine [mm] 3\times [/mm] 3 Matrix [mm] A:=(a_i_j) [/mm] vor,damit Du verstehst, was geschieht:
Zunächst listen wir alle Permutationen von [mm] \{1,2,3\}:
[/mm]
[mm] \sigma_1:
[/mm]
1--1
2--2
3--3
[mm] sgn(\sigma_1)=1
[/mm]
[mm] \sigma_2:
[/mm]
1--1
2--3
3--2
[mm] sgn(\sigma_2)=-1
[/mm]
[mm] \sigma_3:
[/mm]
1--3
2--2
3--1
[mm] sgn(\sigma_3)=-1
[/mm]
[mm] \sigma_4:
[/mm]
1--2
2--1
3--3
[mm] sgn(\sigma_4)=-1
[/mm]
[mm] \sigma_5:
[/mm]
1--3
2--1
3--2
[mm] sgn(\sigma_3)=1
[/mm]
[mm] \sigma_6:
[/mm]
1--2
2--3
3--1
[mm] sgn(\sigma_6)=1
[/mm]
Es ist
[mm] \det [/mm] A = [mm] \sum_{\sigma \in S_3} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^3 a_{i, \sigma(i)}\right) [/mm]
[mm] =\sum_{\sigma \in S_3} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)}a_{2, \sigma(2)}a_{3, \sigma(3)}\right) [/mm]
= [mm] \left(\operatorname{sgn}(\sigma_1) a_{1, \sigma_1(1)}a_{2, \sigma_1(2)}a_{3, \sigma_1(3)}\right) [/mm] + [mm] \left(\operatorname{sgn}(\sigma_2) a_{1, \sigma_2(1)}a_{2, \sigma_2(2)}a_{3, \sigma_2(3)}\right) [/mm] +...+ [mm] \left(\operatorname{sgn}(\sigma_6) a_{1, \sigma_6(1)}a_{2, \sigma_6(2)}a_{3, \sigma_6(3)}\right) [/mm]
= [mm] \left(1* a_{1, 1}a_{2, 2}a_{3, 3}\right) [/mm] + [mm] \left((-1)* a_{1, 1}a_{2, 3}a_{3, 2}\right) [/mm] +...+ [mm] \left(1* a_{1,2}a_{2, 3}a_{3, 1}\right) [/mm]
Um Deine Aufgabe zu lösen, pickst Du Dir dann die passenden Summanden aus den n! Summanden heraus.
LG Angela
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Aha, aha, aha! Danke für die ausführliche Demonstration!
Ich betrachte jetzt dann mal
[mm] $\det [/mm] (A - [mm] \lambda [/mm] E) = [mm] \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n [a_{i, \sigma(i)} - e_{i, \sigma(i)}\cdot \lambda \right) [/mm] $
In der Einheitsmatrix sind alle Komponenten gleich 0, außer wenn $i = [mm] \sigma(i)$, [/mm] d.h. dann ist [mm] $e_{i, \sigma(i)} [/mm] = 1$, sonst 0.
Ich zerlege daher die lange Summe einmal in zwei Summanden:
1. Summand: Hier betrachte ich nur den Fall $ [mm] \sigma [/mm] = [mm] Id_{S_n}$. [/mm] Ich erhalte daher [mm] $sgn(\sigma) [/mm] = 1$ und als Summanden
[mm] $\prod_{i=1}^n (a_{i,i} [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] = [mm] (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots (a_{nn} [/mm] - [mm] \lambda)$.
[/mm]
2. Summand: Hier betrachte ich nun die übrigen Summanden, d.h. alle die zu [mm] $S_n \backslash \{id\}$ [/mm] gehören. Diese Summanden fasse ich als "2. Summanden" auf. Dieser 2. Summand ist ein Polynom, aber welchen Grades?
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> Aha, aha, aha! Danke für die ausführliche Demonstration!
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> Ich betrachte jetzt dann mal
>
> [mm]\det (A - \lambda E) = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n [a_{i, \sigma(i)} - e_{i, \sigma(i)}\cdot \lambda \right)[/mm]
>
> In der Einheitsmatrix sind alle Komponenten gleich 0,
> außer wenn [mm]i = \sigma(i)[/mm], d.h. dann ist [mm]e_{i, \sigma(i)} = 1[/mm],
> sonst 0.
>
> Ich zerlege daher die lange Summe einmal in zwei
> Summanden:
>
> 1. Summand: Hier betrachte ich nur den Fall [mm]\sigma = Id_{S_n}[/mm].
> Ich erhalte daher [mm]sgn(\sigma) = 1[/mm] und als Summanden
>
> [mm]\prod_{i=1}^n (a_{i,i} - \lambda) = (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots (a_{nn} - \lambda)[/mm].
>
> 2. Summand: Hier betrachte ich nun die übrigen Summanden,
> d.h. alle die zu [mm]S_n \backslash \{id\}[/mm] gehören. Diese
> Summanden fasse ich als "2. Summanden" auf. Dieser 2.
> Summand ist ein Polynom, aber welchen Grades?
Hallo,
mach Dir klar, daß keiner der Teilsummanden Deines 2.Summanden mehr als (n-2)-mal einen Faktor mit [mm] \lambda [/mm] enthalten kann.
Der 2.Summand ist also ein Polynom vom Grad (n-2).
LG Angela
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