Beweis zur Potenzmenge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe erhebliche Probleme mit folgender Aufgabe, da mich mit der Potenzmenge nicht sehr auskenne. Ich hoffe Ihr könnt mir einen Lösungsansatz für diese Aufgabe posten.
Sei X eine nicht-leere Menge, [mm] \cal{P} [/mm] (x) die Potenzmenge von x und [mm] A\in \cal{P} [/mm] sei [mm] x_{A} [/mm] die charakteristisch Abbildung
[mm] x_{A}:X\to{{0,1}} [/mm] und x sei 0 falls x [mm] \not\in [/mm] A und 1 falls x [mm] \in [/mm] A
Bezeichne [mm] {0,1}^{x} [/mm] die Menge aller Abbildungen f:X [mm] \to [/mm] {0,1}. Zeige, dass Abbildung [mm] \partial :\cal{P}(X) \to [/mm] { 0,1 [mm] }^{x}, [/mm] A [mm] \mapsto x_{A} [/mm] bijektiv ist.
Danke schon mal.
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Hallo Brutaaaal,
Gegeben ist eine Menge X, deren Potenzmenge P(X), sowie die Menge
$M = [mm] \{ f:X \to \{0,1\}\}$
[/mm]
aller Abbildungen von X nach {0,1}.
Zu zeigen ist, dass die Abbildung
[mm] $\delta: [/mm] P(X) [mm] \to [/mm] M: A [mm] \mapsto x_A$
[/mm]
bijektiv ist.
Beweis: injektiv. Seien A,B [mm] $\subseteq$ [/mm] X, d.h. A,B [mm] $\in$ [/mm] P(X), und sei A [mm] $\not=$ [/mm] B. Dann gibt es ein Element a von A, das nicht in B liegt, oder umgekehrt. Also ist [mm] $x_A(a)=1$ [/mm] und [mm] $x_B(a)=0$, [/mm] oder [mm] $x_A(a)=0$ [/mm] und [mm] $x_B(a)=1$. [/mm] Die charakteristischen Abblidungen unterscheiden sich also. Damit ist [mm] $\delta$ [/mm] injektiv.
surjektiv: Sei $f:X [mm] \to \{0,1\}$ [/mm] eine beliebige Abbildung. Setze
[mm] $A:=\{a \in X : f(a)=1 \}$. [/mm] Klarerweise gilt dann [mm] $f=x_A$. [/mm] Damit ist [mm] $\delta$ [/mm] surjektiv.
q.e.d.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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