Beweisaufgabe Hilberträume < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Do 14.09.2006 | | Autor: | tiptop |
| Aufgabe | Beweisen Sie Gleichung (A.4 siehe unten). Sei [mm] $V_0$ [/mm] ein geschlossener Unterraum eines Hilbertraumes $V$, dann kann jedes $v [mm] \in [/mm] V$ eindeutig durch [mm] $v=v_0+w$ [/mm] beschrieben werden, wobei [mm] $v_0 \in V_0$ [/mm] und $w$ orthogonal zu [mm] $V_0$. [/mm] Das Element [mm] $v_0$ [/mm] kann also als eindeutiges Element in [mm] $V_0$ [/mm] charakterisiert werden, welches am nächsten an $v$ liegt, also
$$ [mm] ~\parallel v-~v_0\parallel \hspace{0.10in} [/mm] = [mm] \min_{w \in V_0} ~\parallel [/mm] v - ~w [mm] \parallel \hspace{0.50in} [/mm] (A.4) $$ |
Weiterhin ist noch als Tipp gegeben:
Nehmen Sie $ [mm] \left \lbrace v_i \right \rbrace_{i=1}^{\infty} \subset V_0 [/mm] $, so dass
$$ [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} \parallel v-v_i \parallel \hspace{0.10in} [/mm] = [mm] \inf_{w \in V_0} \parallel [/mm] v - w [mm] \parallel [/mm] $$
und zeigen Sie, dass $ [mm] \left \lbrace v_i \right \rbrace_{i=1}^{\infty} [/mm] $ eine Cauchy Folge ist. Setzen Sie $ [mm] v_0 [/mm] = [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} v_i [/mm] $.
Hier eine Beweisaufgabe zur Funktionalanalysis... Leider bin ich da nicht so ganz fit... Kann mir da evtl. jemand helfen und das etwas erklären? Wie muss ich denn nun formal rangehen?
Wäre über Hilfe wirklich sehr erfreut...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Do 14.09.2006 | | Autor: | Barncle |
also.. ähm.. muss gestehten, dass ich da auch nicht ganz so fitt bin, aber kann denn [mm] \omega [/mm] othogonal zu [mm] V_o [/mm] und gleichzeitig [mm] \in V_0 [/mm] sein?
So stehts nämlich in der Angabe...
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Do 14.09.2006 | | Autor: | banachella |
Hallo barnacle,
> also.. ähm.. muss gestehten, dass ich da auch nicht ganz so
> fitt bin, aber kann denn [mm]\omega[/mm] othogonal zu [mm]V_o[/mm] und
> gleichzeitig [mm]\in V_0[/mm] sein?
> So stehts nämlich in der Angabe...
es soll ja [mm] $w\bot V_0$ [/mm] und [mm] $v_0\in V_0$, [/mm] so dass [mm] $v=v_0+w$. [/mm] Bei [mm] $v_0$ [/mm] handelt es sich schlicht um die orthogonale Projektion von $v$ auf [mm] $V_0$, [/mm] man setzt dann [mm] $w:=v-v_0$.
[/mm]
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Do 14.09.2006 | | Autor: | Barncle |
jo.. dacht ich mir, aba schau mal an was er da geschrieben hat:
$ [mm] ~\parallel v-~v_0\parallel \hspace{0.10in} [/mm] = [mm] \min_{w \in V_0} ~\parallel [/mm] v - ~w [mm] \parallel \hspace{0.50in} [/mm] $
Stimmt dann nicht oder?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Do 14.09.2006 | | Autor: | banachella |
> jo.. dacht ich mir, aba schau mal an was er da geschrieben
> hat:
>
> [mm]~\parallel v-~v_0\parallel \hspace{0.10in} = \min_{w \in V_0} ~\parallel v - ~w \parallel \hspace{0.50in}[/mm]
>
> Stimmt dann nicht oder?
Es ist vielleicht etwas ungünstig diese Variable mit $w$ zu bezeichnen, aber nicht falsch. Man kann das ja auch anders nennen. Dann steht da:
[mm] $\|v-v_0\|=\inf_{x\in V_0}\|v-x\|$
[/mm]
Es handelt sich hier nämlich um zwei verschiedene $w$. Das eine gehört zu Infimum, das andere zur Projektion.
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Do 14.09.2006 | | Autor: | Barncle |
passt dann is alles klar! ;)
|
|
|
| |
|
Hallo tiptop,
der Tipp, den man euch gegeben hat, ist eigentlich schon sehr ausführlich. Überleg dir doch erstmal, dass es eine solche Folge gibt. Hast du dafür eine Idee?
Ich helfe dir dann gerne weiter!
Gruß, banachella
|
|
|
|
