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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Lavanya |
| Aufgabe 1 | | Sei F: V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbilung . Dann ist F genau dann ein Voktorraum- ISmorphismus, wenn F surjektiv ist . |
| Aufgabe 2 | | Es sei M eine endliche linear unabhängige Teilmenge von V und c [mm] \in [/mm] V mit v [mm] \not\in [/mm] span (M). Dann ist M [mm] \cup [/mm] {v} linear unabhängig. |
| Aufgabe 3 | Seien F: U [mm] \to [/mm] V und G: V [mm] \to [/mm] W lineare Abbildungen. Dann gilt :
Rang ( G [mm] \circ [/mm] F) = Rang (F) - dim ( Im(F) [mm] \cap [/mm] Ker(G)) |
| Aufgabe 4 | Seien F: U [mm] \to [/mm] V und G: V [mm] \to [/mm] W lineare Abbildungen. Dann gilt :
( [mm] id_{V})* [/mm] = [mm] id_{V*} [/mm] und (G [mm] \cap [/mm] H)* = F* [mm] \cap [/mm] G*
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Hallo ihr LIeben,
Also ich habe jetzt meine Klausur hinter mir...........Habe aber noch Probleme mit Beweisen. Ich habe mir gedacht, diese jetzt in den Semesterferien zu lernen............
Ich fänd es super wenn ihr mir dabei helfen könntet........Wie fängt ihr eigentlich an zu überlegen ? bei solchen Aufgaben........
Wenn ihr die Aufgaben könnt, könntet ihr mir das villeicht ausführlich erklären ?
LG
LAVANYA
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Hallo und guten Abend,
> Sei F: V [mm]\to[/mm] V eine lineare Abbilung . Dann ist F genau
> dann ein Voktorraum- ISmorphismus, wenn F surjektiv ist .
Schreib Dir die Definitionen doch mal hin. Die eine Richtung des ''genau dann, wenn'' ist einfach.
Fuer die andere kannst Du doch ueberlegen, dass fuer ein System von n linear unabh. Vektoren
[mm] v_1,\ldots v_n\in [/mm] V der von den Bildern [mm] f(v_1),\ldots [/mm] , [mm] f(v_n) [/mm] erzeugte Teilraum hoechstens Dimension n hat.
Wenn er nun genau Dimension n hat, was gitl dann fuer die Bilder ?
> Es sei M eine endliche linear unabhängige Teilmenge von V
> und c [mm]\in[/mm] V mit v [mm]\not\in[/mm] span (M). Dann ist M [mm]\cup[/mm] {v}
> linear unabhängig.
Nimm an, es sei nicht so, was heisst denn dann linear abhaengig. Und damit leitest Du dann einen
Widerspruch zur Voraussetzung her.
> Seien F: U [mm]\to[/mm] V und G: V [mm]\to[/mm] W lineare Abbildungen.
> Dann gilt :
> Rang ( G [mm]\circ[/mm] F) = Rang (F) - dim ( Im(F) [mm]\cap[/mm] Ker(G))
Der Rang ist ja gleich der Dimension des Bildes. Ueberleg mal, was mit denjenigen Vektoren aus
[mm] Im(F)\cap [/mm] Ker(G) geschieht. Versuch, fuer [mm] G\circ [/mm] F eine Basis zu konstruieren, mit Hilfe einer Basis
von U, einer von Im(F) usw..
> Seien F: U [mm]\to[/mm] V und G: V [mm]\to[/mm] W lineare Abbildungen.
> Dann gilt :
> ( [mm]id_{V})*[/mm] = [mm]id_{V*}[/mm] und (G [mm]\cap[/mm] H)* = F* [mm]\cap[/mm] G*
>
Sollte es da nicht
[mm] (G\circ F)^{\star} [/mm] = [mm] F^{\star}\circ G^{\star} [/mm] heissen ?
Schreib Dir wiederum die Definitionen hin und das, was zu zeigen ist.
Viel Erfolg !!!
Falls es nicht klappt, so melde Dich einfach nochmal.
Gruss,
Mathias
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> Hallo ihr LIeben,
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> Also ich habe jetzt meine Klausur hinter mir...........Habe
> aber noch Probleme mit Beweisen. Ich habe mir gedacht,
> diese jetzt in den Semesterferien zu lernen............
> Ich fänd es super wenn ihr mir dabei helfen
> könntet........Wie fängt ihr eigentlich an zu überlegen ?
> bei solchen Aufgaben........
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> Wenn ihr die Aufgaben könnt, könntet ihr mir das villeicht
> ausführlich erklären ?
>
> LG
> LAVANYA
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