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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Sei M eine Menge, I sei eine Indexmenge und [mm] (M_{1})_{i \varepsilon I} [/mm] eine Familie von Teilmengen von M. Zeigen Sie:
a) C [mm] (\bigcup_{i \varepsilon I} M_{i} [/mm] = [mm] \bigcap_{i \varepsilon I} (CM_{i})
[/mm]
b) C [mm] (\bigcap_{i \varepsilon I} M_{i} [/mm] = [mm] \bigcup_{i \varepsilon I } (CM_{i})
[/mm]
Das C steht hierbei für das Komplement, also [mm] "\IR [/mm] ohne" ... |
Könnt ihr mir da vllt helfen? Weiß da irgendwie keinen Ansatz.
Könnte man da sowas machen( also bei der a)?
... = {i [mm] \varepsilon [/mm] R [mm] \wedge [/mm] i [mm] \not\in \bigcup_{i \varepsilon I} M_{i}}
[/mm]
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Falls I abzählbar endlich ist, kannst du per Induktion die Demorganschen Regeln anwenden(beweisen).
> Das C steht hierbei für das Komplement, also [mm] " $="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%20$" \ir=""> ohne" ...
Wenn dann "M ohne ![$M_i[/mm]]()
edit: Danke Fred97
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Irgendwie versteh ich das immer noch nicht. Mir fehlt irgendwie ein Ansatz dafür.
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IA:
Sei [mm]|I|=2[/mm]. Dann gilt [mm](\blue{M_1}\cap \green{M_2})^C=M_1^C\cup M_2^C[/mm]
I-schritt:
Sei Aussage für [mm]|I|=n[/mm] bewiesen.
...
Die Idee ist folgende:
[mm](A\cap B \cap C)^C=(\blue{(A\cap B )}\cap \green{C})^C=(A\cap B)^C \cup C^C[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Irgendwie versteh ich nicht ganz, was du da gemacht hast. Sry :(
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> Irgendwie versteh ich nicht ganz, was du da gemacht hast.
> Sry :(
Hallo,
wieschoo hat den Schnitt dreier Mengen als Schnitt zweier Mengen, nämlich als Schnitt von [mm] D:=A\cap [/mm] B und C notiert. Hier greift jetzt das, was Du übers Komplement des Schnittes von zwei Mengen weißt, und der Gedanke ist bei der Induktion nützlich.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 So 07.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Ergänzung (wegen "beliebig"):
[mm](\bigcup M_i)^C=\bigcap M_i^C[/mm]
Da die Angabe ein "beliebige Indexmenge" war. Ist Induktion vielleicht nicht der Weg zum Ziel. Ich hatte ja auch geschrieben, dass es im Fall der Endlichkeit nur funktioniert. Für überabzählebare Indexmengen ist der folgende Beweis möglich: 2 Teilmengenbeziehungen sind zu zeigen.
a) [mm](\bigcup M_i)^C\subseteq\bigcap M_i^C[/mm]
b) [mm](\bigcup M_i)^C\supseteq\bigcap M_i^C[/mm]
zu a)
[mm] x \in (\bigcup M_i)^C [/mm]. Dann [mm]x\not\in (\bigcup M_i) ,i=1,2,...[/mm] Es existiert also ein x' mit [mm]x'\not\in M_i[/mm] für alle i. Dann ist aber [mm]x'[/mm] im Durchschnitt aller [mm](M_i)^C[/mm].
Du greifst auf dein Wissen aus der (Prädikaten-)Logik zurück.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry aber blicke da nicht durch :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 So 07.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry aber blicke da nicht durch :(
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Hallo,
"sorry, ich blicke nicht durch." ist weder ein Lösungsansatz noch eine konkrete Frage.
Versuche, genau zu formulieren, wo Dein Problem liegt.
Wie saollen wir sinnvoll helfen, wenn Du Dein problem nicht benennst?
Was erwartest Du von uns?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Mo 08.11.2010 | | Autor: | LoBi83 |
Ich glaub du machst dir unnötig das leben schwer.
Du musst eigentlich nur die Definitionen für Schnitt, Vereinigung, Komplement und ein bischen Logik benutzen:
[mm] x \in (\bigcup M_i)^C
\Rightarrow x \in (M_{1} \cup ... \cup M_{i})^{C}
\Rightarrow x \not\in M_{1} \cup ... \cup M_{i}
\Rightarrow x \not\in M_{1} \vee ... \vee x \not\in M_{i}
\Rightarrow .....
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:47 Mo 08.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Falls I abzählbar ist, kannst du per Induktion die
> Demorganschen Regeln anwenden(beweisen).
Na, na, stimmt das ? Ich glaube nicht. Ein induktionsbeweis liefert die De Morganschen Regeln nur für jede endliche Indexmenge.
FRED
> > Das C steht hierbei für das Komplement, also [mm]" $="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%20$" \ir=""> ohne" ...
Wenn dann "M ohne ![$M_i[/mm]]()
> da Teilmenge von M
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Mo 08.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Na, na, stimmt das ?
Arg, Arg nein!
Hab ich korrigiert. Danke.
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